Matematica

Instituto Profesional Diego Portales
AUTÓNOMO

Asignatura

MATEMÁTICA I
Autor: LUIS FIERRO REYES

PRIMERA UNIDAD TEMÁTICA

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LÓGICA Y CONJUNTOS

OBJETIVO GENERAL DE LA UNIDAD TEMATICA
•

COMPRENDER Y APLICAR PROPIEDADES DE LA LOGICA MATEMATICA Y CONCEPTOS
DE LA TEORIA DE CONJUNTOS, CONSIDERÁNDOLOS COMO UNA BASE DEL ALGEBRAPERMITIÉNDOLE AL ALUMNO ADQUIRIR LAS HABILIDADES MATEMATICAS QUE
PRECEDEN A CAPACIDADES MAS ABTRACTAS.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DE LA UNIDAD TEMÁTICA:
AL TERMINO DE LA UNIDAD TEMATICA DE AUTOAPRENDIZAJE, EL ALUMNO SERÁ CAPAZ
DE :
• ADQUIRIR UN LENGUAJE SIMBOLICO PERTINENTE AL DESARROLLO MATEMATICO
MEDIANTE LAS OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LA LOGICA SIMBOLICA
• REALIZAR OPERACIONES DECONJUNTOS DEFINIDAS EN FORMA DE EXTENSION Y
DE COMPRENSION
•

UTILIZAR CORRECTAMENTE LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER EN SITUACIONES
PROBLEMATICAS DIVERSAS

1.- Elementos de Lógica

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Para el estudio efectivo de la disciplina matemática hay que razonar en forma válida y emplear un
lenguaje universal, apropiado y simple.
Debemos entoncesincorporar el uso de una simbología adecuada que deshaga la posible ambigüedad
del lenguaje habitual, que no conduzca por ello a errores y nos permita un razonamiento pertinente
asociado a reglas claras y estables.
La lógica matemática de proposiciones y la teoría de conjuntos nos proporcionan el simbolismo
preciso y un sistema que admite el razonamiento deductivo

1-1: Proposición es todaoración declarativa de la cuál puede decirse si es verdadera o falsa ( no
ambas ). Los valores de verdad: Verdadero (V) y Falso (F) se consideran conceptos primitivos.
Analicemos la siguiente lista de oraciones:
1.
2.
3.
4.
5.

¿Donde vas?
Deténgase
Hoy es lunes
4 es un número impar
Juan estudia Adm. de Empresas

De las dos primeras no podemos decir que son verdaderas o falsas (la 1 esinterrogativa y la 2 es una
orden). En cambio, las tres siguientes son declarativas y tiene sentido calificarlas como verdaderas o
falsas. A estas últimas las llamaremos proposiciones.

1-2 Notaciones y conectivos
-Las proposiciones simples son denotadas con las letras p, q , r , etc . Por ejemplo:
p: Hoy es lunes
q: 4 es un número impar
r: Juan estudia Adm. De Empresas
s: 1 + 1 > 112-A partir de proposiciones simples, se puede generar otras (compuestas o atómicas) mediante
símbolos de enlaces llamados conectivos lógicos.
- Usaremos los siguientes conectivos en este curso:

conectivo

operación asociada

Ejemplo

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Significado

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−

Negación

-p

no p

Conjunción
p∧q
pyq
Disyunción
p∨q
poqCondicional
p⇒q
si p , entonces q
Bicondicional
p⇔q
p si y solo si q
Actividad 1: escribir en forma simbólica proposiciones expresadas en lenguaje habitual (y viceversa)
Un ejemplo:
∧
∨
⇒
⇔

Sean las proposiciones:
p : Hoy es lunes
q: llueve
Así:
lenguaje simbólico
-p
p∧q
p∧q
p⇒q
p⇔q

lenguaje habitual
hoy no es lunes
hoy es lunes y llueve
hoy es lunes o llueve
si hoy eslunes, entonces llueve
hoy es lunes, si y solo si, llueve

¡Fácil, verdad!
Si además, r: hace frío
lenguaje simbólico
( p∧q )⇒ -r
( p ∨ r)⇔q

lenguaje habitual
si hoy es lunes y llueve , entonces no hace frío
hoy es lunes o hace frío, si y sólo si , llueve

Ejemplo:
Sean las proposiciones :
p : Vivo en Stgo
q: Estudio Administración
r : Apruebo Matemática
Escriba en lenguajehabitual :
• ( p∧q )⇒ -r
Solución : Si vivo en Stgo y estudio Administración, entonces no apruebo Matemática

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• ( p ∨ r)⇔(q ∧-r )
Solución : Vivo en Stgo o apruebo matemática, si y
apruebo matemática

sólo si , estudio Administración y no

El proceso contrario requiere de mayor cuidado y laboriosidad:
Veámoslo con un ejemplo:
Sea el...