Matematica

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.
La ecuación diferencial
(A) M dx + N dy = 0

Se dice que es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas de x y y del mismo grado. Talesecuaciones diferenciales pueden ser resueltas haciendo una sustitución

(3) y = vx.
Esto dará una ecuación diferencial en v y x en la cual las variables son separables, y por lo tantopodemos seguir la regla del tipo 1.

De hecho a partir de (A) obtenemos

(4) dydx= - MN.

También desde (3),

(5) dydx=x dvdx+v.
El miembro de la derecha de (4) se convertirá en unafunción de v solamente cuando la substitución (3) se utiliza. Por lo tanto mediante el uso (5) y (3), vamos a obtener de (4)
(6) x dvdx+v=fv,
y las variables x y v se pueden separar.
EJEMPLOILUSTRATIVO. Resolver la ecuación.
y2+ x2 dydx=xy dydx.
Solución. y2 dx+x2-xy dy=0.
Aquí M = y2, N = x2 – xy, y ambas son homogéneas de segundo grado en x y y también tenemos
dydx= y2xy- x2.Substituyendo y = vx, el resultado es
x dvdx+v= - v21-v.
v dx+1-vdv=0
o para separar las variables dividir por vx. Esto nos da
dxx+ 1-vdvv=0,
dxx+ dvv - dv=C,
lnx+lnv-v=C,
lnvx=C+v,
vx= eC+v= eC.ev
vx= cev
Pero v= yx. Por lo tanto la solución completa es
y= Ceyx. Respuesta

Ecuaciones Diferenciales Lineales.
La ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en y es de la forma
Bdydx+Py=Q,
donde P y Q son funciones de x solo o constantes.
Similarmente, la ecuación
Cdxdy+Hx=J,
Donde H y J son funciones de y o constantes, es una Ecuación Diferencial Lineal.
Para integrar (B), dejar
(7) y = uz
Donde z y uson funciones de x que se determinan. Diferenciando (7).
(8) dydx=u dzdx+z dudx
Substituyendo desde (8) y (7) en (B) el resultado es.
u dzdx+z dudx+Puz=Q,
O
(9) u dzdx+...