Matematica

UNIDAD II:
INTEGRALES MULTIPLES
TEORIA




Profesor:
Pedro Colina





Maracaibo, Septiembre 2.012

ESQUEMA

1. INTRODUCCION
2. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS
3. LA INTEGRAL DOBLE
4. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
5. INTEGRALES ITERADAS
6. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES
7.INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES POLARES
8. APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES para láminas
9. Calculo de áreas planas.
10. Cálculo de Masa de láminas
11. Calculo de momentos lineales
12. Calculo de centro de masas
13. Calculo de momentos de inercia
14. Calculo de área de superficie
15. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS
16. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADASCILINDRICAS
17. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS.
18. APLICACIONES DE INTEGRALES TRIPLES.
19. Calculo de masa de solido
20. CAMBIO DE VARIABLES
21. Para integrales dobles, casos particulares coordenadas polares
22. Para integrales triples, casos particulares coordenadas cilíndricas y esféricas.
23. Definiciones de Divergencia y Rotacional.
24. Teorema Fundamental para lasintegrales de Línea
25. Teorema de la independencia de las trayectorias.



INTEGRALES MULTIPLES


1 Introducción.

La derivación y la integración son procesos fundamentales del cálculo. En esta parte usaremos las integrales múltiples para calcular algunas aplicaciones físicas sobre láminas delgadas y sobre sólidos de tres dimensiones, tales como: volúmenes de sólidos generales,el área de superficies, centroide y centro de masa de láminas delgadas y sólidos de densidad variable, entre otras.

La teoría básica de las integrales ya fue vista y estudiada por el alumno durante la asignatura Cálculo II, donde se le proporcionó la notación y las herramientas teóricas básicas para la integración simple, aquí se estudiaran las integrales dobles y triples donde elsegundo teorema fundamental del cálculo juega un papel primordial, y son válidas esas teorías de integración ya estudiadas por el alumno. Se generalizarán la teoría y las aplicaciones de las integrales sencillas a las integrales múltiples.

Se comienza por el uso de una correcta notación simbólica, para lo cual ya el alumno dispone de los elementos básicos, fue Leibniz quien introduce lanotación de integral de la forma [pic] (Historia de la Matemática, pág. 506) en donde el signo de integral es “una esbelta ese” para indicar que es una “suma”, además Leibniz apunta acerca de la importancia del correcto uso de una adecuada notación en el desarrollo de los procesos de pensamiento lógico. Dentro de las definiciones que se generaliza, está la forma de evaluar la integral múltiple, que serealizará en una sucesión de integrales simples.




2 Integración Doble

Supongamos una función [pic], definida en una región rectangular acotada D, la cual establece un diferencial de área [pic], entonces la integral doble sobre la región acotada R se denota:

[pic]


Se observa que la formula involucra el producto de dos expresiones: una se refiere al diferencial de área laregión del dominio dado por [pic] y la otra referida a la imagen de un punto dentro de la región dado por ese diferencial de área que estaría dado por [pic], esto permite reconocer que inicialmente al avaluar esta integral doble se obtiene el volumen de un cuerpo, en este caso es el volumen del solido que esta contenido entre el plano xy la superficie dada por la función [pic] y es integrable enla región D.




1 Integración Doble en coordenadas Rectangulares

Para hablar de integrales dobles hay que aclarar que no toda función de dos variables es integrable sobre un rectángulo dado R, de manera particular una función que no esté acotado en R no es integrable.




2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Si [pic] esta acotada en el rectángulo cerrado D y si es continua allí,...