Matematica

Cómo funciona la regla de la cadena de las derivadas
Sabemos cuáles son las derivadas de las funciones elementales. Sabemos también derivar la suma, la resta, el producto y la división de dos o másfunciones elementales. Pero, ¿y si tenemos la función de una función? Por ejemplo, ¿y si tenemos ln(cosx)? Entonces aplicamos la regla de la cadena.
Informalmente podemos decir que la regla de lacadena consiste en ir derivando las funciones una a una, y multiplicar todos los resultados. Por ejemplo, si tenemos f(x)=ln(cosx), podemos derivar primero el logaritmo y decir que la derivada de estelogaritmo es 1cosx (con todo lo que tenga "dentro" sin preocuparnos) y que la derivada de cosx es −sinx. Al multiplicar ambos resultados queda:
f′(x)=1cosx(−sinx)=−sinxcosx=−tanx
Vamos con otroejemplo. Tenemos f(x)=1−x2−−−−−√. Tenemos una raíz, y dentro de la raíz tenemos 1−x2.
* La derivada de esta raíz es 121−x2−−−−−√ (recuerda: el argumento, lo de "dentro" de la función, lo dejamos comoestá).
* La derivada de 1−x2 es −2x.
Al multiplicar ambos, nos queda
f′(x)=121−x2−−−−−√(−2x)=−2x21−x2−−−−−√=−x1−x2−−−−−√
Un tercer ejemplo: supongamos que tenemos la función f(x)=sin5x. Tenemosuna potencia y "dentro" de la potencia un seno (lo que está elevado a 5 es un seno). Derivamos la potencia, derivamos el seno, y multiplicamos los resultados:
* La derivada de la potencia es5sin4x.
* La derivada del seno es cosx.
f′(x)=5sin4x⋅cosx
Formalmente decimos que si tenemos una composición de dos funciones f y g, es decir, algo como f (g (x)), su derivada la hallamos haciendo f'(g (x)) · g' (x). ¿Ves con los ejemplos cómo funciona esta fórmula? Lo que suele aparecer en los libros de texto es que si tenemos una función h que es composición de dos funciones f y g, es decir,tal que h(x) = f (g (x)), entonces h'(x) = f' (g (x)) · g' (x).
¿Y si tenemos tres funciones cada una dentro de la anterior? Es decir, y si tenemos que h (x) = f (g (k (x)))? Entonces la fórmula de...