Matematica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA ELIPSE
CONTENIDO
1.

Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
1.1

Análisis de la ecuación

2.

Lado recto

3.

Excentricidad de la elipse

4.

Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
4.1 Ejercicios

5.

Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen

6.

Ecuación de la elipse vertical con centrofuera del origen

7.

Forma general de las ecuaciones de las elipses horizontal y vertical fuera del
origen

8.

Posición general de la elipse y su ecuación

9.

Ejercicios

Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano: Si el
plano está inclinado y no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del cono,
como se ve en laFigura 1.
La generatriz de una superficie cónica
es una recta fija en uno de sus puntos con uno
de
sus
extremos
describiendo
una
circunferencia plana.
DEFINICIÓN. Por definición la elipse es
el lugar geométrico de todos los puntos de un
plano, participantes de la propiedad relativa:
que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos llamados focos es constante.
Los dos puntos sonconocidos como
focos de la elipse, mientras que la constante
será representada por 2a, como se ve en la
Figura 2.

6. LA ELIPSE
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDITOR PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

6-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

1.

Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.

Observando la Figura 2 se tiene:
La condición de movimiento del punto M(x, y),dada por la definición es:

M F 1 + M F 2 = Constante = 2 a ................................................................................... (1)
Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, se tiene:
2

( x+c ) + y

M F1 =

2

y M F2 =

2

( x-c ) +y

2

De modo que al sustituir en (1) queda:
2

2

2

2

( x+c ) + y + ( x - c ) + y =2aDespejando al segundo radical:
2

2

( x - c ) + y =2a -

2

( x+c ) + y

2

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y desarrollando, tendremos:
2

2
2
2
x -2c x+c + y =4a - 4a
Reduciendo:

2

(x + c ) + y

2

+ x2+2c x+c 2 + y

2

4a (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx
Dividiendo entre 4, se tiene:

a (x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx

6. LA ELIPSE
AUTOR: PROFESOR JESÚSINFANTE MURILLO
EDITOR PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

6-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y reduciendo:
2
2
2
a x +2 a c x+a
2
2
a x -c

2

2
2

2

2
2
2
4
c +a y =a +2a c x+c

2
2
4
2
x +a y =a -a c

2

x

2

2

Factorizando:
(a 2-c

2

2

) x 2 + a 2 y = a 2 ( a 2 - c 2 )......................................................................... (2)

Con el fin de transformar más todavía esta ecuación, recordemos que en todo triángulo
cada lado es menor que la suma de los otros dos, lo que aplicado al triángulo F1MF2 de nuestra
Figura 2, produce que:

M F1 + M F 2 > F 1 F 2
Sustituyendo:
a + a >2c
Por tanto:
2a>2c
Dividiendo entre 2 y elevando al cuadrado:

a >c
2
a >c2

Rearreglando:
2
2
a -c >0

La última desigualdad nos dice, que la diferencia a2-c2, es constante y positiva, de tal
manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una
constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea:
2
2
a - c =b

2

Por lo tanto, la ecuación (2) de la elipse se transforma en:
2

2
2
2
2
2
b x + a y = ab .................................................................................................. (I)

Cuya ecuación también puede expresarse en la siguiente forma llamada simétrica o
normal, la cual se obtiene dividiendo ambos miembros entre a2b2:

bx

2

2

2

2

ab

+

2
ay

2

2

2

ab

2

=

ab

2

2

2

ab

6. LA ELIPSE
AUTOR: PROFESOR JESÚS...