Matematica

TURMA DO M˘RIO
Álgebra
Porcentagem
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0 é a razão x x a x tal que: = , e se indica: = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de x um número, significa multiplicar este número por . 100 15 Exemplo: 15 % de 200 = . 200 = 30 . 100

Potenciação
Definições ∀ a ∈ R ⇒a0 = 1 ∀ a ∈ R e ∀ n ∈ N ⇒ a n = a n−1 . a Propriedades 1. a m . a n = a m+n am 2. n = a m−n , a ≠ 0 a 3. (a m ) n = a m . n 4. (a . b) n = a n . b n 5. (a : b)n = an : bn , b ≠ 0 1 6. a – n = n , a ≠ 0 a Nota: Em geral a

( m)

n

≠ am
n

n

Em geral (a + b) ≠ a n + b n

Radiciação
Propriedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. a .b=na . n b n a : b = n a : n b ,b ≠ 0
n

( a)
n
m n

m

= nam

a = n .m a
m

n

am = a n

n .p

am . p = n am

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Produtos notáveis
(a + b) × (a – b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 × (ab + ac + bc)

Fatoração
ab + ac = a × (b + c) ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) ×(a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ax2 + bx + c = a.(x – a1) × (x – a2), onde a1 e a2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 a3 + b3 = (a + b) × (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c)2

Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 éprimo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um número natural Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.Seqüências
Definições Seqüência real é toda função f : I ® R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.

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Progressão Aritmética (PA) Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixor chamado de razão da PA. Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r

Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser: I.crescente: (razão positiva): r >0 Þ a n+1 > a n II. decrescente (razão negativa): r < 0 Þ a n+1 < a n III. constante (razão nula): r = 0 Þ a n+1 = a n

Fórmula do termo geral de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an).Então: an = a1 + (n – 1) × r, n Î N*

Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n – p) × r, n,p Î N*

Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ap = a p -k + a p + k 2 com p, k Î IN* ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:

Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,...Sn = (a 1 + a n ) × n 2 ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:

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Progressão Geométrica (PG) Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. Conseqüência da definição: Se an ¹ 0, então q = a n+ 1 ; ou seja, encontramos a razão da PGdividindo um termo an qualquer pelo seu antecessor. Classificação das PG´s: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1 > an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II. Decrescente: quando an+1 < an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III. Constante: quando an+1 = an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 ¹ 0 e q < 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q =...