Matematicas 2 integrales granville

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Blanca Rodriguez Olvera UNIDAD III INTRODUCCION Ya que el calculo diferencial y el calculo integral son de las herramientas mas poderosas que hay en la actualidad, Son la base sobre la que se desarrollo la fisica, la mecanica de fluidos, los analisis estadisticos y demas disiciplinas como las conocemos hoy. En realidad sin el calculo, no existirian muchas de las cosas que hay hoy en dia, que seriade la electronica sin las ecuaciones de maxwell o de la industria sin las teorias de faraday. Pero para su comprension hay que conocer las reglas en las que se basa el calculo. y una de ellas es el calculo de limites y continuidades. Un ejemplo en donde se aplican las darivadas y por ende los limites es en los problemas de resistencia de materiales, donde los limites pueden representar muchascosas.

LIMITES Definiciones:

Definici`n de lmite de una funcin en un punto: Se dice que la funcin o f converge a L en x0 ,y se escribe l´ f (x) , cuando a valores x prximos a x0 ım
x→x0

les correspondientes valores de f(x) estn prximos a L.

1

Definici`n de lmites laterales de una funci`n en un punto: Se dice que o o la funcin f converge por la derecha (izquierda) a L en x0 , y se escribel´ f (x) = ım
x→x0

L ( ), cuando a valores x prximos a ”X0 ”conX ¿X0 los correspondientes valores de f(x) estn prximos a L. El lmite de la funcin f(x) cuando x se aproxima a p ser L si y solo s para todo ? ¿0 existe un ? ¿0 tal que para todo nmero real x en 0 ¡—x - p— ¡?, tenemos que —f(x) - L— ¡?

El siguiente concepto de lmite es el de la definicin formal, la cual no es muy aprensible parael comn de la gente. Dicha formulacin matemtica es ms conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de lmite como aquella herramienta matemtica que sirve para conocer el comportamiento de una funcin alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supngase f : (M, dM) -¿(N, dN) es mapeado entre dos espacios mtricos, p esun punto lmite de M y L?N. Decimos que .el lmite de f en p es L 2escribimos

x→p

l´ f (x) = L ım

si y slo si para todo ? ¿0 existe un ? ¿0 tal que para toda x?M en 0 ¡dM(x, p) ¡?, tenemos dN(f(x), L) ¡?. En trminos de desigualdades, tenemos que el lmite de la funcin f ( x ) en x

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= a es L si se cumple lo siguiente: para toda ? ¿0 existe un ? (?) ¿0 tal que, para toda x: si 0 ¡|x −a| < δ, entonces |f (x) − L| < Observemos que la solucin de la desigualdad 0 ¡— x - a — ¡? es la siguiente: x pertenece a la vecindad ( a - ? , a ) U ( a, a + ? ): x no toca el valor de a, pues 0 ¡— x - a — implica x distinto de a, mientras que la solucin de — f (x) - L — ¡? es la siguiente: y pertenece al intervalo ( L - ? , L + ? ). Esto proporciona la clave de la comprensin del concepto delmite, pues mientras que el valor de la x est en la vecindad horizontal alrededor del punto .a 2 agujereada en .a¸on radio delta y centro .a”, aun cuando en ese punto .a”no est c definida, el valor de y est en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio psilon.

NOTACION

Sea f una funcin real, entonces

x→p

l´ f (x) = L(x, L ∈ R) ım

si y slo si para todo ε > 0existeun? >0talqueparatodonmerorealxeneldominiodelaf uncin 0 ¡—x-p— ¡δ ⇒ |f (x) − L| < ε

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Notacin formal: ∀ε > 0, ∃δ > 0/∀x∈D 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

00 Ejemplo: 0/0 es una indeterminacin pues lmites de cocientes donde los lmites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

t t2 t = ∞ l´ ım = 1 l´ ım =0 t→0 t t→0 t2 t→0 t l´ ımPROPIEDADES DE LOS LIMITES

Sean f y g dos funciones tales que l´ f (x) = L y l´ g(x) = L entonces: ım ım
x→x0 x→x0

x→x0

l´ (f (x) ± g(x)) = l´ f (x) ± l´ g(x) ım ım ım
x→x0 x→x0

x→x0

l´ (f (x) • g(x)) = l´ f (x) x g(x) ım ım
x→x0

l´ f (x) ım f (x) x→x0 = x→x0 g(x) l´ g(x) ım l´ ım
x→x0 x→x0

l´ (k • f (x)) = k • l´ f (x) ım ım
x→x0

x→x0

l´ (loga f (x)) = loga ( l´ f (x)) ım...
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