Matematicas 4

Matematicas 4
Por: Ana Karem Amador

Teorema fundamental del algebra
• El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
• Todo polinomio de grado n, con coefcientes complejos,
tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es
decir contadas con su orden de multiplicidad.
• Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también
complejo):
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raízsimple, lo que da en
total tres raíces.
• En otras palabras, todo polinomio:

•
•
•
•

se puede factorizar completamente, así:
,
con los  complejos, y .
Los números complejos fueron inventados justamente para
encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción
una raíz de .
• Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar
un número para cada polinomio real que se quierafactorizar,
porque con todas las combinaciones lineales entre i y 1(es
decir con los ) se puede factorizar todos los polinomios
reales, y también complejos. Esa propiedad signifca que el 
cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se
puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la
operación algebraica por excelencia

• Encontrar la solución de la siguiente ecuación: y=2x+1
•Para poder encontrar las soluciones reales, debemos cruzar esa recta con el eje x,
esto implica hacer y=0:

• Para este caso en concreto, vemos que esta ecuación, solo tiene una única solución,
-1/2.
• Según el teorema, si el grado es impar, tenemos al menos una raíz real.
• Para entenderlo, vamos a reescribirlo de esta manera:
• Un polinomio de grado n impar admite al menos una raíz real. Si existeuna raíz
compleja 
• de un polinomio, entonces existe su raíz compleja conjugada 

• En el ejemplo anterior, era una ecuación de grado uno (mirad el exponente de las x),
por lo que el número mínimo de raíces va a ser 1. Lo cual no quiere decir que tenga
que haber solamente una raíz, puede haber más, pero siempre será ese mínimo.

Aplicación del teorema fundamental del
algebra

• se utilizan enecuaciones algebraicas utilizadas
en el colegio y en la mayoria de las carreras
como: administracion de empresas,
contabilidad

Teorema del residuo
• establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier
número real o complejo, entonces el residuo es f(a).Por ejemplo, si f(x) = x 2 + x - 2 se
divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 2 2 + (2) - 2 = 4. Esteresultado puede volverse
obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:
• f(x) = (x-2)(x+3) + 4
• Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4
sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
• El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En
este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto,signifca que no existe residuo, es
decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos
el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
• f(x) = (x-1)(x+2)
• Como se muestra, (x-1) es un factor.

• El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el
resíduo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la
forma x-a (siendo "a"un valor numérico conocido) sin necesidad de
efectuar la división. 
Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a 
Ejemplo: 
x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2 
En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio: 
(2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15 
El residuo es entonces 15

• El Teorema del residuo
• Generalmente cuando un polinomio es dividido entreun binomio hay un residuo.
• Considere la función polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6.
Divida el polinomio entre el binomio x - 2.
• Podemos realizar la división en cualquier método.
• Método 1: División larga

•  .
• El residuo es -6.

• Método 2: División sintética

• El residuo es -6.
• Ahora compare el residuo de -6 en f (2).
• Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo...