Matematicas algebra matrices

´ Ingenier´a Matematica ı
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´SICAS Y MATEMATICAS I UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Algebra Lineal 08-2

Semana 1

1. Demuestre la asociatividad de la multiplicaci´n de matrices. Esdecir, si o A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces:

Ã

Ã

Ã

Proposici´n 1.2 o

A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ). 2. Pruebe que si A es diagonal (A = diag(a11 , . . . , ann ) ∈ Mnn ( )),entonces A es invertible ⇔ aii = 0, para i ∈ {1, . . . , n}. Demuestre adem´s que, en caso de ser invertible, su inversa es diagonal a con (A−1 )ii = a1 . ii 3. Sean A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnp ( ) ydescribamos B por sus columnas B = (B•1 , B•2 , ..., B•n ), demuestre que entonces AB = (A(B•1 ), ..., A(B•n )) . 4. Sea A = (aij ) una matriz de permutaci´n, es decir una matriz de o o o Mnn ( ) con s´lo 0’sy 1’s tal que tiene un y s´lo un 1, por cada fila y columna. Pruebe que A es invertible y su inversa es A−1 = At .

Ã

Ã

Ejercicio 1.1

Ã

Ã

Ejercicio 1.2

Ã

Ejercicio 1.3

5. Sedice que P ∈ Mnn ( ) es una matriz de proyecci´n si P = P 2 . o (a) Pruebe que si P es matriz de proyecci´n, entonces In − P es matriz o de proyecci´n, donde In es la matriz identidad en Mnn ( ). oÃ

Ã

(b) Pruebe que P es matriz de proyecci´n si y s´lo si P 2 (In − P ) = 0 o o y P (In − P )2 = 0. (c) Encuentre P ∈ M22 ( ) tal que P = P 2 y P 2 (I2 − P ) = 0. Indicaci´n: Considere matricescon coeficientes en {0, 1}. o

Ã

Problemas
 d1  P1. Sea D =  ..  .   ∈ Mnn ( ) diagonal, con d1 , . . . , dn distintos

Ê

dn y A, B, M, S ∈ Mnn ( ).

Ê

(a) Pruebe que si M D = DM ,entonces M es diagonal. (b) Sea S invertible, tal que S −1 AS y S −1 BS son diagonales. Pruebe que AB = BA. Indicaci´n: Recuerde que el producto de matrices o diagonales conmuta. (c) Sea S invertibletal que S −1 AS = D. Suponiendo que AB = BA, verifique que S −1 AS y S −1 BS conmutan y concluya que S −1 BS es diagonal. P2. (a) Demuestre que si A, B y (A + B −1 ) son matrices invertibles,...