Matematicas aplicadas

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1. Conjunto acotado

"Diremos que A está acotado en R si existen dos números reales K K2 tales que a sea mayor o igual que K2 y a sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"

2. Conjunto acotado en valor absoluto

"Diremos que A subconjunto de R esta acotada en valor absoluto si existe K mayor que 0 tal que /a/ sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"

3. Axiomadel extremo superior

"Si A es un subconjunto de R y está acotado superiormente entonces posee supremo"

4. Axioma del extremo inferior

"Si A es un subconjunto de R y está acotado inferiormente entonces posee ínfimo"

5. Sucesión de números reales

"Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N* en R"

6. Sucesión constante

"Una sucesión es constante si todos sustérminos son iguales se denota (r) y se escribe (r)=(r,r,r,...,r,...)"

7. Determinación de sucesiones

Una sucesión queda determinada cuando podemos calcular cualquier termino de la sucesión, con el termino general.

8. Operaciones con sucesiones

Suma con sucesiones:

Asociativa: Para todo (An) (Bn) (Cn) pertenecientes a S se tiene que [(An) + (Bn)] + (Cn) = (An) + [(Bn) + (Cn)]Conmutativa: Para todo (An) (Bn) pertenecientes a S se tiene que (An) + (Bn) = (Bn) + (An)
Elemento neutro: (0) = (0,0,0,...,0,...)
Todo elemento de S tiene simétrico que se llama opuesto

Resta de sucesiones:

Es una consecuencia de que toda sucesión tiene opuesta:
(An) - (Bn) = (An) + (-Bn)

Producto de sucesiones:

Asociativa: Para todo (An)(Bn) (Cn) pertenecientes a S tenemos que [(An).(Bn)].(Cn) = (An).[(Bn).(Cn)]
Conmutativa: Para todo (An) (Bn) pertenecientes a S tenemos que (An).(Bn) = (Bn).(An)
Elemento neutro: Se llama elemento unidad (1) = (1,1,1,...,1,...)
(S,.) es un semigrupo conmutativo

Sucesión inversible:

(Bn) es inversible si (Bn) no es igual a 0 para todo n perteneciente a N*Si el denominador es inversible se puede definir el cociente

9. Monotonía de sucesiones

Sucesiones crecientes:

"La sucesión (An) es creciente si An es menor o igual que An+1 para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "La sucesión An es creciente si An+1-An es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesiones decrecientes:

"Decimos que (An) esdecreciente si An es mayor que An+1,para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(An) perteneciente a S es decreciente si A(n+1)-An es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesión estrictamente creciente:

"(An) perteneciente a S es estrictamente creciente si An es menor que An+1 para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(An) perteneciente a S esestrictamente creciente si A(n+1)-An es mayor que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesión estrictamente decreciente:

"(An) es estrictamente decreciente si An es mayor que A(n+1) para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(An) es estrictamente decreciente si A(n+1)-An es menor que 0 para todo n perteneciente a N*"

Proposición:

"Si An es estrictamente crecienteentonces An es creciente pero no el recíproco"
"Si An es estrictamente decreciente entonces An es decreciente pero no el recíproco"

10. Sucesiones acotadas superiormente

"An está acotada superiormente en R si existe K perteneciente a R tal que An sea menor o igual que K para todo n perteneciente a N*"

Supremo:

A la menor de las cotas superiores se la llama supremo de lasucesión

Máximo:

Si el supremo pertenece a dicha sucesión se llama máximo de la sucesión

11. Sucesiones acotadas inferiormente

"An es una sucesión acotada inferiormente en R si existe K2 perteneciente a R tal que K2 sea menor o igual que An para todo n perteneciente a N*

Ínfimo:

A la mayor de las cotas inferiores se la llama ínfimo de la sucesión

Mínimo:...
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