matematicas aplicadas

Cálculo diferencial
Unidad 3. Límites y continuidad
Unidad 3. Límites y continuidad
Competencia específica
Comprender el concepto de límite
de funciones y aplicarlo para
determinar analíticamente la
continuidad de una función en un
punto o en un intervalo y mostrar
gráficamente los diferentes tipos de
discontinuidad.
3.1 Límite de una sucesión
El principal interés de este tema secentra en sucesiones cuyos términos tienden a un
valor límite. Tales sucesiones se llaman convergentes. Por ejemplo, la sucesión:

Converge a 0 de acuerdo con la siguiente definición.
DEFINICIÓN DEL LIMITE DE UNA SUCESIÓN
Sea L un número real. Se dice que L es el límite de una sucesión
se denota

Si para cada
existe un
tal que
siempre que
Las sucesiones que tienen límite se llamanconvergentes y las demás
divergentes.

, lo cual

.

Gráficamente, esta definición dice que finalmente (para
) los términos de una
sucesión que converge a L estarán en la franja comprnedida entre las rectas

1

y

Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones
Cálculo Diferencial
Ing. Elizabeth Barrera Rodríguez

Cálculo diferencial
Unidad 3. Límites y continuidadEjemplo: coma la sucesión

tiene términos:

que alterna valores 2 y 4, el límite

Por lo tanto la sucesión es divergente.
Para

, podemos dividir numerador y denominador por

para obtener

Lo cual implica que la sucesión converge a

3.2 Límite de una función de variable real.

En todo curso de cálculo diferencial se aborda el concepto de límite, esto se debe a que
el objeto de estudiodel cálculo es la derivada y su definición está basada en dicho
concepto.
El límite se aborda en otras áreas de las ciencias como cálculo integral, vectorial, en
variables, ecuaciones diferenciales, análisis matemático, topología, etc., esto con
respecto a las áreas de matemáticas. También se utiliza para deducir las fórmulas de la
física y de la química, siempre lo encontrarás en los librosque utilices como referencia.

Definición de límite
Escribimos

y decimos

“el límite de

, cuando

tiende a , es igual a ”

si podemos acercar arbitrariamente los valores de
a
(tanto
como deseemos) escogiendo una lo bastante cerca de , pero no
igual a .

3.3 Cálculo de límites.
Considera la función f definida por la ecuación:

2

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Cálculo Diferencial
Ing. Elizabeth Barrera Rodríguez

Cálculo diferencial
Unidad 3. Límites y continuidad

En la figura se ilustra la gráfica de la función.
Observa que
existe para cualquier ,
excepto en
, por lo que se evaluará la
función cuando se aproxime a 2 por la
izquierda y por la derecha. Observa la
posición que tiene el 2 en el eje de las
equis.

3.4Propiedades de los límites.
Propiedades de los límites. Supóngase que

es una constante y que los límites.

y

Existen. Entonces

3.5 Límites laterales.

3

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Cálculo Diferencial
Ing. Elizabeth Barrera Rodríguez

Cálculo diferencial
Unidad 3. Límites y continuidad
El símbolo “
modo, “

“indica que sólo consideramosvalores de menores que 0. Del mismo
” indica que sólo consideramos valores de mayores que 0.

Definición de límites laterales
Escribimos

y decimos el límite izquierdo de
, cuando tiende a , [o el
límite de
cuando se acerca a desde la izquierda] es igual a
si podemos aproximar los valores de
a tanto como queramos,
escogiendo una lo bastante cerca de , pero menor que .

De maneraanáloga, se requerimos que sea mayor que , obtenemos “el límite por la
derecha de
cuando tiende a es igual a ” y escribimos

Por lo tanto, el símbolo “
” significa que consideramos sólo
siguiente se ilustran estas definiciones:

0.5

f(x)

. En la figura

L
f(x)

0.5
L
0.5
a

0.5
x

x

a

Al comparar las definiciones de los límites laterales, vemos que se cumple lo...