Matematicas Derivadas

Aplicaciones de las derivadas

1.

Recta tangente a una curva en un punto

La pendiente de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n f (x) en el punto
a
o
(x0 , f (x0 )) viene dada por f (x0 ) siempre que la funci´n sea derivable en ese
o
punto. A partir de aqu´ se tiene que la ecuaci´n de la recta tangente en el punto
ı
o
anterior es
y − f (x0 ) = f (x0 ) · (x − x0 )
En el casoen que la funci´n venga dada en forma impl´
o
ıcita, procedemos a
derivar de forma impl´
ıcita y aplicamos la formula anterior.
Calcular las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0
en los puntos de abscisa x0 = 3.

2

4

2

2

4

6

2

4

6

Figura 1: Circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0
o
En primer lugar calculamos los puntosde tangencia. Para ello sustituimos
en la ecuaci´n de la circunferencia la variable x por 3 y hallamos el valor
o
de y :
9 + y 2 − 6 + 4y − 24 = 0 → y 2 + 4y − 21 = 0 → y = 3, y = −7
Las pendientes de las rectas tangentes en los puntos (3, 3) y (3, −7) se
calculan derivando impl´
ıcitamente:
2x + 2yy − 2 + 4y = 0 → y (2y + 4) = 2 − 2x → y =

1

2 − 2x
2y + 4

IES Montevives. Dpto.de Matem´ticas
a

Aplicaciones de las Derivadas

−4
−2
La pendiente de la recta tangente en el punto (3, 3) es:
=
y la
10
5
−4
2
pendiente de la recta tangente en el punto (3, −7) es
=
−10
5
−2
Recta tangente en (3, 3): y − 3 =
(x − 3)
5
2
Recta tangente en (3, −7): y + 7 = (x − 3)
5
5

4

2

2

4

6

5

10

Figura 2: Tangentes a la circunferencia en lospuntos de abscisa 3

2.

Derivadas y c´lculo de l´
a
ımites

Una de las m´s importantes aplicaciones de las derivadas es el c´lculo de
a
a
l´
ımites. Para ello vamos a utilizar el siguiente resultado:
Teorema 2.1 (Regla de L´Hopital) Sea δ > 0 y sean dos funciones f, g :
]x − δ, x + δ [→ IR, continuas en ]x − δ, x + δ [ y derivables en ]x − δ, x + δ [.
Adem´s l´ x→x f (x) = l´x→x g (x) = 0. Si g (x) = 0 ∀ x ∈]x − δ, x + δ [ y si
a ım
ım
(x)
(x)
existe l´ x→x f (x) , entonces existe l´ x→x f (x) y ambos coinciden.
ım
ım
g
g
0
x2 − 2x + 1
0
2x − 2
= =0
=
= l´
ım
1
x→1
x→1
ln x
0
1
x
l´
ım

sen x
0
cos x
1
=
= l´
ım
= =1
x→0
x→0
x
0
1
1
l´
ım

ex − 1 − x
0
ex − 1
0
ex
1
=
= l´
ım
=
= l´
ım
=
2
x→0
x→1 2x→0
x
0
2x
0
2
l´
ım

Este teorema se utiliza para el c´lculo de l´
a
ımites funcionales no s´lo del tipo 0
o
0
0
∞
0
sino tambi´n del tipo 0 · ∞, 0 , 1 y ∞ , tras realizar algunas transformaciones.
e
2

IES Montevives. Dpto. de Matem´ticas
a

l´ x ln x = [0 · −∞] = l´
ım
ım

x→0

x→0

Aplicaciones de las Derivadas

ln x
1
x

=

−∞
= l´
ım
x→0
∞

1
x
−1x2

= l´ (−x) = 0
ım
x→0

O este otro:
l´ ln x(1 + x − 1)
ım

=

[1−∞ ] = ex→0

=

l´ (1 + x)ln x
ım

x→0

1
x
−1
x→0 2
x
e

l´
ım

3.

l´
ım

x→0

= e[−∞·0] = e

ln x
1
x

l´ (−x)
ım
= ex→0
= e0 = 1

Crecimiento y Decrecimiento de una funci´n
o

La derivada se utiliza tambi´n para el estudio de la monoton´ 1 de una
e
ıa
funci´n. Veamosalguna definiciones previas sobre crecimiento y decrecimiento
o
de una funci´n.
o
Definici´n 3.1 Sea f :]a, b[→ IR y sea x ∈]a, b[. Decimos que f es creciente
o
en x si existe un entorno de x , ]x − h, x + h[⊂]a, b[ tal que:
* si x − h < x < x entonces f (x) < f (x )
* si x < x < x + h entonces f (x) > f (x )
Decimos que f es decreciente en x si existe un entorno de x ,
]x − h,x + h[⊂]a, b[ tal que:
* si x − h < x < x entonces f (x) > f (x )
* si x < x < x + h entonces f (x) < f (x )
Teorema 3.1 Sea f :]a, b[→ IR que es derivable en x ∈]a, b[.
1.

Si f (x ) > 0, entonces f es creciente en x

2.

Si f (x ) < 0, entonces f es decreciente en x
Demostraci´n.o

1.

f (x) − f (x )
> 0. Por las propiedades
x − x
f (x) − f (x )
> 0.
de los...