Matematicas Discretas

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Predicados

Cuantificadores

Preguntas

Matemáticas Discretas, Lógica: Predicados y Cuantificadores
Prof. Víctor Bravo1
1 Universidad

de los Andes

A-2008

Predicados

Cuantificadores

Preguntas

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Cuantificadores

Preguntas

Agenda

1

Predicados Tautologías y Contradicciones Definiciones Cuantificadores Definiciones Implicaciones y Equivalencias Lógicas Preguntas

2

3

Predicados Tautologías y Contradicciones

Cuantificadores

Preguntas

Tautologías útiles

Tautologías útiles Ley del absurdo Ley de la importación Ley de la exportación Ley del silogismohipotético Ley de la adjunción Ley de la simplicación Modus tollendo pollens Modus tollendo tollens Ley de la separación (p → q ∧ ¬q) → ¬p (p → (q → r )) → (p ∧ q → r ) (p ∧ q → r ) → (p → (q → r )) (p → q) ∧ (q → r ) → (p → r ) p∧q →p∧q p∧q →p ¬p ∧ (p ∨ q) → q ¬q ∧ (p → q) → ¬p p ∧ (p → q) → p

Predicados Tautologías y Contradicciones

Cuantificadores

Preguntas

Tipos de elementos en lalógica de Predicados

Constantes Objetos concretos, formando un universo de discurso, un conjunto U. Variables Objetos genéricos que normalmente denotamos con las letras x, y, z, . . . y que podrán sustituirse por objetos de U.

Predicados Tautologías y Contradicciones

Cuantificadores

Preguntas

Predicados

¿Qué es un predicado? Los predicados son sentencias abiertas, en las que seincluyen una o más variables. También se les llama función proposicional. Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no se especifican los valores de las variables. Un predicado se convierte en una proposición cuando todas las variables que aparecen en él, se remplazan por opciones permisibles del universo de discurso.

Predicados Tautologías y Contradicciones

CuantificadoresPreguntas

Representación de predicados

¿Cómo se representan los predicados? Los predicados se representan por símbolos del tipo p(x), q(x) o p(x,y), q(x,y,z), etc. Por ejemplo: Si p(x) = x > 100, p(x) se convierte en proposición al sustituir x por algún número natural. p(101) es Verdadera. p(50) es Falsa.

Predicados Definiciones

Cuantificadores

Preguntas

Definición de cuantificador

¿Quées un cuantificador? Otra forma de crear una proposición o de cerrar una función proposicional abierta, es la Cuantificación. Una proposición abierta se cierra, si todas sus variables se cuantifican. Trataremos con dos tipos de cuantificadores:
1 2

Existencial Universal

Predicados Definiciones

Cuantificadores

Preguntas

Cuantificador Existencial

¿Qué es un cuantificador existencial?Denota que existe “al menos” un elemento x del Universo, para el cual p(x) es verdadera. Notación: ∃x p(x) ó ∃x∃y p(x, y ) ↔ ∃x, y p(x, y )

Predicados Definiciones

Cuantificadores

Preguntas

Cuantificador Existencial

En lenguaje natural decimos... Formas de expresarlo: “Hay un x” “Para algún x” “Para al menos un x” “Existe un x tal que” Resumiendo... La proposición es Verdadera, si existeal menos un elemento x del universo tal que p(x) sea verdadera. De lo contrario es falsa.

Predicados Definiciones

Cuantificadores

Preguntas

Cuantificador Existencial

Veamos un ejemplo Si p(x) es “x < 100” Tenemos... Cerramos p(x) al escribir ∃x p(x), donde el universo consiste en todos los números reales. Importante Siempre debemos denotar el universo del discurso, ya que para...
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