Matematicas especiales

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Primer Parcial Matemáticas Especiales
Primer Parcial
Grupo II

1. a) Pruebe por inducción matemática que para cualesquiera números z y w y cualquier entero positivo n:

La conocida expansiónbinomial de Newton.

Solución:

El símbolo nk donde k y n son enteros positivos con r≤n, se define como:

nk=nn-1n-2⋯n-k+11∙2∙3⋯k-1k

Estos números son llamados coeficientes del binomio deNewton.

Nótese que nk tienen exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador. También

nk=nn-1⋯n-k+11∙2∙3⋯k-1k=nn-1⋯n-k+1n-k!1∙2∙3⋯k-1kn-k!=n!k!n-k!

El teorema del binomio,que se demuestra por inducción matemática, proporciona la expresión general para el desarrollo de (z+w)n

El teorema binomial de Newton es cierto para n=1 puesto que:

k=011k z1-kwk=10z1w0+11z0w1=z+w=(z+w)1
Suponemos que el teorema se cumple para (z+w)n y probamos que es cierto para (z+w)n+1

(z+w)zn+n1zn-1w+⋯+nk-1zn-k+1wk-1+nkzn-kwk+⋯+n1 zwn-1+ wn

Ahora el término del producto quecontiene se obtiene de:

wnk-1zn-k+1wk-1+znkzn-kwk=nk-1zn-k+1wk+nkzn-k+1wk=nk-1+nkzn-k+1wk

Pero por el teorema nk-1+nk=nk-1. O sea el término que contiene wk es n+1kzn-k+1wk.

Se observa que(z+w)(z+w)n es un polinomio de grado n+1 en w. En consecuencia:

z+wn+1=z+wz+wn=k=0n+1n+1kzn-k+1wk

Lo cual se quería demostrar.

En el desarrollo de (z+w)nse deben observar las siguientespropiedades:

i) Hay n+1 términos.
ii) La suma de los exponentes de en cada termino en n.
iii) Los exponentes de z decrecen una unidad en cada término desde n hasta 0; los exponentes de w crecensimilarmente de 0 a n.
iv) El coeficiente de cualquier termino esnk donde k es el exponente de z o de w (si z+w=n, entonces nz=nw).
v) Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos soniguales.

Hacemos notar que los coeficientes de las potencias sucesivas de z+w pueden ser distribuidos en una formación triangular de números llamada triangulo de pascal:

z+w0=1
z+w1=z+w...
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