Matematicas Financieras-Leyes Financieras

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Problemas resueltos

Leyes financieras clásicas
1) Un capital de 20.000 € colocado al 12% efectivo anual se convierte en un montante de

25.000 €. Calcular el tiempo que ha estado colocado si la operación se ha realizado : a) En capitalización simple. b) En capitalización compuesta.
Solución

C0 t0

Cn tn

a) En capitalización simple: Cn = C0 (1+in), de donde: n=

C n − C 0 25.000 −20.000 = 2,083 años = C 0i 20.000x 0,12

0,083 x 12 = 1 mes, luego n = 2 años y 1 mes b) En capitalización compuesta: Cn = C0 (1+i)n, de donde: (1+i)n = ln C n − ln C 0 ln(25.000) − ln(20.000) Cn C = = → n ln(1+i) = ln n → n = C0 C0 ln(1 + i) ln(1,12) = 1,9699 años 0,9699 x 12 = 11,6388 meses; 0,6388 x 30 = 19 días; luego 1 año, 11 meses y 19 días

1

2) En una cuenta que acumula interesesal final de cada año, se ingresan este año los siguientes capitales : 4.000 € el 16 de Marzo, 5.000 € el 20 de Abril y 3.000 € el 4 de Junio. Si se utiliza la capitalización simple al tanto del 9% efectivo anual y teniendo en cuenta el año comercial, obtener : a) El montante al final del año. b) El montante el 30 de Junio en el caso de que acumulase intereses al final de cada semestre. c)Comprobar si ambos montantes son equivalentes con esta ley financiera. d) Lo mismo utilizando la ley de capitalización compuesta. Solución

a) 4.000 16-03 5.000 20-04 3.000 04-06 .............................. p = 31-12

C31-12 = 4.000(1+0,09x290/360) + 5.000(1+0,09x255/360) + 3.000(1+0,09x210/360) = = 12.766,25 € b)

4.000 16-03

5.000 20-04

3.000 04-06 ...... p’ = 30-06

C30-06 =4.000(1+0,09x106/360) + 5.000(1+0,09x71/360) + (3.000(1+0,09x26/360) = = 12.214,25 € c) 12.214,25 12.766,25

p’ = 30-06

n = 184 días

p = 31-12

No pueden ser equivalentes, ya que la ley de capitalización simple valora capitales dependiendo del momento donde se situé el punto de valoración y al haberlo modificado en los respectivos cálculos se ha variado la equivalencia inicial, por lo que resultael 30-06 una cuantía distinta a la que se hubiera obtenido manteniendo el punto de valoración el 31-12. Comprobación: 12.214,25(1+0,09x184/360) = 12.776,11 € ≠ 12.766,25 €

2

Si se hubiera mantenido el punto de valoración el 31-12 el capital equivalente sería: C30-06 = 12.766,25 = 12.204,83 € 1 + 0,09x184 / 360

d) En capitalización compuesta: C31-12 = 4.000(1+0,09)290/360 +5.000(1+0,09)255/360 + 3.000(1+0,09)210/360 = 12.756,92 € C30-06 = 4.000(1+0,09)106/360 + 5.000(1+0,09)71/360 + (3.000(1+0,09)26/360 = 12.207,22 € Como con la ley financiera de capitalización compuesta el capital resultante no depende del momento donde se sitúe el punto de valoración, ambos capitales son equivalentes. Comprobación: 12.207,22(1+0,09)184/360 = 12.756,92 €, o bien: 12.756,92(1+0,09)-184/360 =12.207,22 €
3) Se dispone de 30.000 € que se colocan en capitalización compuesta durante 5 años. En

los tres primeros se abonan intereses al 4% efectivo semestral y en los dos últimos se abonan trimestralmente a un tanto nominal del 10% anual. Obtener : a) El montante al finalizar los 5 años. b) Intereses que produce la operación. c) Los tantos efectivos anuales equivalentes. d) El tanto efectivoanual medio.
Solución

C0 = 30.000

C5

0

1

i2 = 4%

2

3

4 j(4) = 10%

5

⎛ 0,10 ⎞ a) C5 = 30.000(1+0,04) ⎜1 + ⎟ = 46.250 € 4 ⎠ ⎝ O bien:
6

8

i4 =

0,10 = 0,025 4

C5 = 30.000(1+0,04)6 (1+0,025)8 = 46.250 € O bien:

3

i = (1+0,04)2 -1 = 0,0816
⎛ 0,10 ⎞ i = ⎜1 + ⎟ -1 = 0,1038 4 ⎠ ⎝ C5 = 30.000(1+0,0816)3 (1+0,1038)2 = 46.250 € b) I(0,5) = C5 – C0 = 46.250– 30.000 = 16.250 € c) Se calcularon en el apartado a) d) C0 = 30.000 C5 = 46.250
4

0

1

2 ie

3

4

5

46.250 = 30.000(1+ie)5
⎛ 46.250 ⎞ 5 ie = ⎜ ⎟ - 1 = 0,0904 → 9,04% ⎝ 30.000 ⎠
4) Una letra de nominal 20.000 € con vencimiento dentro de 90 días, se descuenta hoy al
1

7,5% efectivo semestral en descuento comercial. Determinar : a) Valor descontado. b) Tanto efectivo...
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