Matematicas financieras

LA REGLA DE COMPAÑÍA Y LA DIDÁCTICA DEL REPARTO PROPORCIONAL
Juan Navarro Loidi (*)
La Regla de Compañía ha sido durante muchos siglos un apartado habitual en los manuales de Aritmética publicados en España. No es, ni ha sido, un problema clave en la historia de las matemáticas. Es una aplicación del reparto proporcional en la que la cantidad a repartir son los beneficios, o pérdidas, de unasociedad. Pero, es una cuestión interesante porque su evolución nos informa de los cambios que ha habido en la economía y en la enseñanza de la aritmética durante los últimos cinco siglos. Además, como recientemente se ha dejado de incluir en los libros de texto de matemáticas, este artículo puede servir también de despedida, de nota necrológica en la que se cuenta la vida y las glorias de un viejoproblema que conocemos bien los que hemos dado clase en 7º de E. G. B.

NACIMIENTO
Este tipo de cuestiones aparecieron por primera vez en los textos de Aritmética a finales de la Edad Media. Los mercaderes y banqueros, que comenzaban a tener importancia como parte de la naciente burguesía, necesitaban saber cómo llevar las cuentas de sus negocios1. Pensando en ellos se empezó a incluir en loslibros de Aritmética problemas que tenían ya el enunciado clásico de la regla de la compañía. Por ejemplo, considerando sólo textos escritos en castellano, en el manuscrito El arte del alguarismo, obra anónima fechada en 13932, la cuestión 69 dice: "[69] Fas esta cuenta, 3 compañeros an en compañía 1 00 libras y el uno avía el medio y el otro el 1/3 y el otro el 1/4, demando ¿quántos vernán a cadauno por su derecha regla?". Por ese comienzo clásico en estas preguntas, en el que se dice que varios socios forman una compañía se les puso a estos problemas el nombre de regla de compañía3. En un comienzo los problemas sobre la adjudicación de beneficios en un negocio no se distinguían de otras cuestiones sobre reparto proporcional que se solían introducir como aplicaciones de la regla de tres.En El arte del alguarismo, por ejemplo, no existe un apartado titulado regla de compañía. El problema trascrito figura en el libro entre uno sobre limosnas y otro sobre los restos que se obtienen al dividir una cantidad desconocida entre otras conocidas. En general, los problemas sobre repartos son unas cuestiones antiquísimas que se pueden encontrar, incluso, en papiros del antiguo Egipto. Porejemplo, en el enunciado 40 del Papiro de Rindt (aprox. 1650 a. de C.), se pide hallar la forma de repartir 100 hogazas de pan entre cinco personas de manera que los dos últimos sólo reciban un séptimo de lo que obtienen los tres primeros y que las cantidades que resulten vayan en progresión aritmética4. Para resolverlo el escriba toma cinco números que cumplen las condiciones; pero no suman 100.Luego hace una regla de tres y encuentra las soluciones correctas5. Sólo al final de la Edad Media la regla de compañía comenzó a figurar habitualmente entre los problemas de repartos proporcionales, a distinguirse de otras cuestiones similares y a conocerse por su nombre.

(*) Instituto de Bachillerato a Distancia de Guipúzcoa – Gipuzkoako Urrutiko Batxilergoko Institutua.

Mayo 2006 • 2006koMaiatza

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SIGMA 28

Junto a esas aritméticas aplicadas en esos siglos se estudiaban también otras que procedían de los comentarios que escribió Boecio (480-524) a los libros de Aritmética de los Elementos de Euclides. Esas obras no solían tratar de la regla de compañía. Estaban en latín y se utilizaban en las universidades. Además, en los siglos XII y XIII se comenzó a traducir al latínlibros árabes de álgebra y, algo más tarde, varios matemáticos europeos escribieron tratados de Álgebra, dando una orientación distinta al estudio de la Aritmética. Estos textos incluían a menudo la regla de compañía, porque eran también aritméticas prácticas que ayudaron a que se dignificara dicha regla. Algo más tarde, en el siglo XVI, se puede encontrar la regla de compañía también en algunas...