Matematicas financieras

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Universidad Católica de Santiago de Guayaquil

Facultad de Especialidades Empresariales

Carrera: Ingeniería en Marketing

Materia: Matemáticas II

Paralelo: 2 “D”

Profesor: Ing. Félix Villalobos Gray

Alumno | Trabajo | Exposición | Total |
Tatiana Rocío Aguila | | | |

Semestre B – 2011
Reglas de Derivación

Regla de la Cadena y de la Potencia
La regla de la Cadena, esmuy importante para obtener derivadas.
Implica una situación en la que y es una función de la variable u, pero u es una función de x y queremos encontrar la derivada de y con respecto a x.
Ejemplo:
Las ecuaciones
y=u2 | U=2x+1 |

Definen a y como una función de u y a u como una función de x. Si sustituimos u por 2x+1, en la primera ecuación, podemos considerar a y como función de x:Y=(2x+1)2 |

Para encontrar dy/dx primero desarrollamos (2x+1)2 :
y=42+4x+1 |

Entonces:
dydx=8x+4 |

En este ejemplo, puede verse que encontrar dy/dx efectuando primero una sustitución, puede ser bastante complicado. Por ejemplo, si hubiésemos tenido y= u100 en vez de y= u2, ni siquiera intentaríamos efectuar la sustitución. Por fortuna, la regla de la cadena nos permite manejar talessituaciones con facilidad.
Regla de la Cadena

Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función diferenciable de x, y
dydx=dydu ∙dudx |

Podemos mostrar que la regla de la cadena es razonable considerando razones de cambio. Supongamos
Y=8u + 5 y u= 2x – 3 |

Hagamos que x cambie en una unidad ¿Cómo cambia? Para responderesta pregunta, derivamos y encontramos que du/dx = 2.Pero, para cada cambio de una unidad en u hay un cambio en y de dy/du=8.Por tanto. ¿Cuál es el cambio en y si x cambia en una unidad; estos es ¿qué valor tiene dy/dx?

La respuesta es 8 ∙ 2, lo cual es dydu∙dudx , Así, dydx=dydu∙dudx

Ahora utilizaremos la regla de la cadena para volver a resolver el problema planteado al principio de estasección. Si

Y=u2 y u=2x+1, |
Entonces
dydx=dydu∙dudx= dduu2∙ddxux+1,

= (2u)2=4u

Reemplazando u por 2x + 1, obtenemos
dydx=42x+1=8x+4

* Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y :

 
Ejemplo:
1. Si y = 3u15 y u = 2x - 1, entonces la derivada es el producto de:
(15)(3u14)(2) =90u14. Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14.
Derivar por la regla de la cadena las funciones:
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

 
Derivada de una potencia:

Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número real, entonces

ddxun=nun-1dudx |


ddxun=nun-1dudx

Demostración: Seay=un.Como y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, la regla de la cadena da

dydx=dydu∙dudx
Pero dy/du== nun-1.Por lo que,

dydx=nun-1dudx,

Que es la regla de la potencia.

Otra manera de escribir la fórmla de la regla de la potencia es

ddxuxn= nuxn-1u'(x) |

* Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número real, entonces:Ejemplo:

Conclusiones:

Considero que es necesario estudiar la derivada de una función, ya que es uno de los dos conceptos centrales del cálculo.
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. Es unconcepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de...
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