Matematicas ii

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 6 (1479 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 5 de febrero de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
Tema 4: Optimitzaci´ o

Guia 5. Tema 4: Optimitzaci´ en dues variables. o S&H Cap´ 17.1, 17.4 ıtol
Problemes recomanats S&H: 17.1 (1–9), 17.4 (1–6)

Angel Gil (grups 1 i 4)

Tema 4: Optimitzaci´ o

´ Index

Punts estacionaris ` Optims locals. S&H 17.4

Condicions de segon ordre

Tema 4: Optimitzaci´ o

Introducci´ o

1. Definirem i treballarem els punts estacionaris, que s´nels o punts on s’anul·len totes les derivades parcials de la funci´. o Per trobar-los caldr` resoldre sistemes de dues equacions, de a vegades no lineals. 2. Veurem com els `ptims locals s´n punts estacionaris (si la o o funci´ ´s derivable). oe 3. Veurem quines condicions addicionals han de complir els punts estacionaris per a ser `ptims locals. S´n les o o anomenades condicions de segon ordre.Tema 4: Optimitzaci´ o Punts estacionaris

Punts estacionaris
1. El punt P = (x0 , y0 ) ´s un punt estacionari de f (x, y ) si en ell e s’anul·len les dues derivades parcials de f (x, y ), ´s a dir, si e fx� (x0 , y0 ) = 0 i fy� (x0 , y0 ) = 0. S´n punts on el pla tangent ´s horitzontal ja que si o e � (x , y ) = 0 i f � (x , y ) = 0, aleshores el pla tangent en fx 0 0 y 0 0 (x0 , y0 ) ´s e z =f (x0 , y0 )+fx� (x0 , y0 )(x −x0 )+fy� (x0 , y0 )(y −y0 ) = f (x0 , y0 ) ´ 2. Es fals afirmar que si P ´s estacionari aleshores P ha de ser un e o `ptim (m`xim o un m´ a ınim). En canvi, si f (x, y ) ´s derivable e s´ que tindrem que si P ´s m`xim o m´ ı e a ınim, aleshores P ´s e estacionari.

Tema 4: Optimitzaci´ o Punts estacionaris

Un exemple
El cost de produir x i y unitats delsproductes A i B ´s e C (x, y ) = 200 + (1/20)x 2 + (1/100)y 2 euros. Venem cada unitat de A a 15 euros, i cada unitat de B a 10 euros. Quines quantitats hem de produir per a obtenir un benefici m`xim (suposant que les a venem totes i que la funci´ t´ m`xim)? o e a 1. La funci´ de beneficis ´s o e f (x, y ) = 15x + 10y − (200 + (1/20)x 2 + (1/100)y 2 ). 2. Els punts estacionaris s´n (Exercici) o 3. Comque t´ m`xim, el m`xim ha de ser... (Exercici) e a a

Tema 4: Optimitzaci´ o Punts estacionaris

Exemples de punts estacionaris
Calcularem els punts estacionaris de 1. f (x, y ) = −2x 2 − y 2 + 4x + 4y − 3. fx� = −4x + 4 = 0 → x = 1 fy� = −2y + 4 = 0 → y = 2 Aix´ doncs l’´nic punt estacionari ´s (1, 2). ı u e 2. f (x, y ) = x 3 + y 3 − 3xy . fx� = 3x 2 − 3y = 0 → y = x 2 fy� = 3y 2 − 3x = 0 →3x 4 − 3x = 0 → 3x(x 3 − 1) = 0 →x=0,x=1 Aix´ doncs els punts estacionaris s´n (0, 02 ), (1, 12 ). ı o 3. (Exercici) Trobeu els punts estacionaris de f (x, y ) = x 3 + y 3 − 9xy + 27..... 4. (Exercici) f (x, y ) = ln(1 + x 2 y ). Atenci´: en t´ infinits! o e

Tema 4: Optimitzaci´ o ` Optims locals. S&H 17.4

Definicions en R 2
Donada la funci´ f (x, y ) i el punt P = (x0 , y0 ) ∈ R 2 ,aleshores o

1. P ´s un m`xim local si existeix un cercle de centre P i radi e a r > 0 en el que per a tot (x, y ) del cercle i del domini de f tenim que f (x, y ) ≤ f (x0 , y0 ). 2. P ´s un m´ e ınim local si existeix un cercle de centre P i radi r > 0 en el que per a tot (x, y ) del cercle i del domini de f tenim que f (x, y ) ≥ f (x0 , y0 ). 4. Si P ´s un punt estacionari que no ´s ni m`xim ni m´ e ea ınim local, direm que P ´s un punt de sella. e

3. P ´s un `ptim local si ´s un m`xim local o un m´ e o e a ınim local.

Tema 4: Optimitzaci´ o ` Optims locals. S&H 17.4

Exemples

Demostrem usant la definici´ que o 1. (0, 0) ´s un m´ e ınim local de f (x, y ) = x 2 + y 2 . Cal veure que en un cercle de centre (0, 0) i radi r > 0, f (0, 0) ≤ f (x, y ).

2. (0, 0) ´s un punt de sella def (x, y ) = x 2 − y 2 . Cal veure que e en tot cercle de centre (0, 0) i radi r > 0, hi ha un punt on f (x0 , y0 ) < f (0, 0) i un altre on f (0, 0) < f (x1 , y1 ).

Tema 4: Optimitzaci´ o ` Optims locals. S&H 17.4

Geometria d’un punt de sella I.
Si f (x, y ) = x 2 − y 2 al voltant del punt (0, 0), tenim les seg¨ents u corbes de nivell:
z=-0.1 z=0.2 z=0.1 z=0.1 z=0.2
0 1

-1

i per...
tracking img