Matematicas la derivada

La derivada
Cuando estudiamos la recta hablamos de la componente más importante de esta que es la pendiente, la cual definimos como y su fórmula se expresa:

Algunos de los conceptos que conoceremos en esta unidad son: recta tangente y recta secante. Si una recta toca a una curva en dos puntos se le denomina recta secante. Si una recta toca a una curva en un solo punto se le denomina rectatangente.

Nota En la medida en que el punto se acerca hacia A, Δx tiende a cero. Observemos las siguientes coordenadas:

En la gráfica anterior notamos que las rectas AB, AC, AD, AE, AF, AG, son rectas secantes, es decir, tocan a la curva en dos puntos, pero en la medida en que el punto se acerca a A: 1. el ángulo disminuye; 2. la recta de la secante pasa a tangente, 3. Δx se acerca a cero.Ahora hagamos álgebra y apliquemos la teoría de la ecuación de la recta, sea el punto A(x1 y1) B(x1 + Δx, y1 + Δy). Expliquemos que es Δx (delta de x): Sea la función 6x2 + 13x +15 = f(x).

Nota

Expliquemos que es Δx (delta de x):

Sea la función

¿Cuánto cambió y? Restemos al valor final “108”, el inicial “34”; 108 – 34 = 74, a este número que controla el cambio en y lo simbolizamos con¿Cuánto cambio x?

Ahora vamos a escribirlo como: Ahora escribamos la misma función pero de un modo diferente, así, en vez de escribir 3, escribamos 1 + 2 (propiedad de sustitución).

Siguiendo con la numeración en vez de escribir 4 escribiremos (1+3) y así sucesivamente según se requiera

A hora calculemos:

Pero aquí nos surge algunas dudas, ¿siempre vamos a empezar en 1?, y ¿siempre va aaumentar 2?, veamos…

… desarrollemos los productos

Reduzcamos términos:

Sigamos reduciendo

Ahora vamos a resolver otro ejercicio sólo que lo haremos paso a paso. Sea:

Paso 1: Incrementar la función

Como parte de este paso debemos desarrollar todos los productos que se presenten.

Paso 2: Medir el cambio de la función es decir ¿Cuánto cambió f(x)? Tomemos la función final(Y2), restemosla de la función original (Y1)

Reduciendo términos semejantes:

Recordemos que Y2-Y1 es la primera parte de la fórmula de la pendiente. Paso 3: Medir razón de cambio. Este paso consta de dos fases. Fase1: medir el cambio sufrido por x, restemos X2 de X1

Fase 2: medir la razón de cambio.

… desarrollando

Paso 4: Para este paso regresemos a la primera gráfica vista en estaunidad que nos mostro la recta secante

Recordemos que en la medida en que Δx tiende a cero, la recta secante se vuelve tangente, es decir, toca a la recta en un solo punto. Entonces Usando el lenguaje de los límites escribimos:

, Siendo el resultado de este proceso Reuniendo los cuatro pasos tenemos: 1. Incrementar la función. 2. Medir el cambio de la función. 3. Medir la razón de cambio. 4.. y se le denomina derivada.

Simbólicamente tenemos: Ahora desarrollemos otro ejemplo: Paso 1: Incrementa la función original. desarrollemos:

Paso 2: Medir el cambio de la función.Restemos.

… ordenando y reduciendo: Paso 3: Medir la razón de cambio.

Reduciendo:

Paso 4: Tomar el límite. Aquí nos surge una pregunta: ¿Para qué sirve la derivada? La derivada sirve para calcular lapendiente de la recta tangente. Para entenderlo grafiquemos:

Ahora dibujemos una recta tangente a la curva, pero que la toque en el punto (o,6), aquí debemos discutir dos puntos vitales: cuánto mide la tangente y cómo medirla. En el punto de contacto (0, 6) x es cero, sustituyamos este cero en la derivada…

Por lo tanto podemos afirmar que la recta tangente a la curva tiene una pendiente de 5(comprobémoslo), vamos a la gráfica, pero antes es importante recordar que m = 5 significa: Y aumenta 5 si x aumenta 1 Y disminuye 5 si x disminuye 1 Si deseamos saber cuánto mide la pendiente de la recta tangente a (-4, 2) sustituyamos el punto -4 en la derivada escribiéndose: en el punto

se lee : y derivada evaluada cuando x es igual que 4

En donde -3 se interpreta

Nota técnica Una...