Matematicas

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Universidad Nacional Abierta Vicerrectorado Académico Área De Matemática

Cálculo 1 (749) Cód. Carrera: 508 Fecha: 27/03/2010

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1, 2, 3 y 4.

OBJ 1 PTA 1 Sea f: A→R una función, a un punto límite de A y L∈R. 1. Escriba la definición de lím f(x) = L.
x →a

2. Puesto que lím 2x = 6, dado ε > 0, existe δ > 0 que verifica la definición dada en
x →3

la parte1.. Calcule los valores de δ para ε = 15 y ε =0,001. Nota: para el logro de este objetivo es necesario responder correctamente todos los ítems anteriores Respuesta 1. Esta definición está expuesta enal pág. 18 del texto o en cualquier libro de Cálculo en una variable y la misma se puede escribir simbólicamente como sigue: lím f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ >0, tal que si x∈A y 0< | x − a | < δ, entoncesx →a

| f(x) − L | < ε. Como lím 2x = 6, de acuerdo a la definición anterior
x →3

∀ε > 0, ∃δ >0, tal que si x∈R y 0< | x − 3 | < δ, entonces | 2x − 6 | < ε. O equivalentemente ∀ε > 0, ∃δ >0,tal que si x∈R y 0< | x − 3 | < δ, entonces | x − 3 | < ε/2. Por lo tanto, si tomamos 0 < δ ≤ ε/2, entonces si 0< | x − 3 | < δ, 0< | x − 3 | < δ≤ ε/2. Luego 0< | x − 3 | < ε/2 y así | 2x − 6 | < ε. Enconsecuencia si x∈R y 0< | x − 3 | < δ ⇒ | 2x − 6 | < ε. En nuestro caso particular se tiene que: Si ε = 15, entonces podemos tomar δ∈(0 , 15/2] = (0 , 7.5] Si ε = 0,001, entonces podemos tomar δ∈(0 ,0,001/2] = (0 , 5.10−4] resulta

OBJ 2 PTA 2 a. Enuncia el Teorema del Valor Intermedio b. Considera la función f: IR → IR definida por f(x) = cos(x) − sen(x), x∈IR. b1. Demuestra que esta funcióntiene al menos un cero en IR. b2. Da un argumento geométrico que justifique el hecho anterior. b3 ¿ Cuál es el valor de un cero de f ?. Nota: para el logro de este objetivo es necesario respondercorrectamente todos los ítems anteriores
Elaborado por: Chanel Chacón

Área de Matemática

Primera Parcial

Lapso 2010-1

749 –2/3

Respuesta a. El enunciado del teorema está en la p. 93 del...
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