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PARCIAL DE ANALISIS
1) Construir un ejemplo para visualizar ,los teoremas de Rolle,Valor Medio y valor medio generalizado. TEOREMA DEL ROLLE x2 4x , ( f no es continua en x = 2, por lo cual para poder x+2 aplicar el teorema tenemos que escoger un intervalo donde f sea continua), continua en [0; 4] y deribable en (0; 4) y f (0) = f (4) = 0, entonces existe un c 2 (0; 4) tal que f (c) = 0: (si fes continua su derivada tambien) Sea f (x) = f (x) = (x2 + 4x 8) (x + 2)2

Por de…nición tenemos que: p p (c2 + 4c 8) = 0 () c2 +4c 8 = 0; luego c = 2 2 3 2, con 2 2 3 2 2 (0; 4) 2 (c + 2) p Comprobando f (2 2 3 2) = 0: Luego la ecuación de la recta tangente que

p p pasa por el punto 2 2 3 2; f (2 2 3 2) con m = 0 es: p p p 2 y=1 3 2 3 2 8 3+8 6

y

6 4 2

-2

-1 -2

1

2

34

5

x

6

Con lo cual vemos que el teorema de ROLLE se cumple para f .

1

TEOREMA DEL VALOR MEDIO p 2

Sea f (x) = sin(x)

sin(x), como h es i f continua si 1 1 luego f (x) es continua en 0; . 2 cos x sin x 2

1

sin(x)

0 entonces

f (x) = p 2 1 Solo si 1

sin(x) 6= 0 luego x 6= 2

, por lo tanto f (x) es derivable en 0;

2

:

Entonces existe c 2 0; f (c) =f (b) b f (a) ; a f (0) =

tal que:

f (c) =

f( ) 2

1

=

2

2 1 2 p () = 2 1 sin(c) p () 4 1 sin(c) = cos(c) () 16 (1 sin(c)) = 2 cos2 (c) () 16 = 2 (1 + sin(c)) () c = sin =) c
1

0 2 cos(c)

(

16
2

1)

0:670 20, con 0:670 20 2 0;

2

La ecuación de la cuerda es: y =

2

x+1

f (0:670 20) = 0:615 51 se tiene el punto (0:670 20; 0:615 51) ,y con pendiente 2m= ; obtenemos la ecuación: 2 2 x + ( (0:670 20) + 0:615 51)

y=

Con lo cual se muestra el teorema.

2

y

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-0.2 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

x

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY

Sean f (x) = sinh(x) y g(x) = ex funciones continuas en [0; 2] y derivables en (0; 2), entonces existe un número c 2 (0; 2) tal que: f (2)f (c) = g (c) g(2) f (0) , ya que g(2)6= g(0) g(0)

f (0) = 0, f (2) = 3: 626 9 g(0) = 1, g(2) = 7: 389 1 =) cosh(c) f (2) = ec g(2) f (0) g(0) 3: 626 9 6: 389 1
2c

0:567 67

ec + e c cosh(c) 1+e 2 () = = c c e e 2 1 + e 2c () = 0:567 67 2 2c () 1 + e = 0:567 67 2 () 1 + e 2c = 1: 135 3 () e 2c = 0:1353

3

() 2 ln(ec ) = ln(0:1353) =) c = 1: 000 2; con 1: 000 2 2 (0; 2) : Evaluamosel punto c para veri…car el teorema. cosh(1: 000 2) f (2) = 1: 000 2 e g(2) f (0) g(0)

3: 626 9 1: 543 3 = ; quedando entonces 0:567 67 = 0:567 67: 2: 718 8 6: 389 1 Mostrando el teorema.

2) Mostrar que las funciones son derivables y encontrar un maximo y un mínimo si existe para:
2

f (x) = log(x2

9) si jxj > 3 y g(x) = x 3 (x

1)4 si 0 6 x 6 1

i) f (x) = log(x2 d log(x2 dx

9)si jxj > 3 2x x2 9 f (x) < 0, Lo que implica que la función es

9) =

En el intervalo ( 1; 3) decreciente en el intervalo

En el intervalo (3; 1) f (x) > 0; Lo que implica que la función es creciente en el intervalo.

Como f no esta de…nida para f ( 3) y f (3) (por lo que f en esos puntos tiende a 1) la función no tiene puntos criticos;por lo tanto f no puede tener un máximo ni mínimo.4

y 14
12 10 8 6 4 2 -20 -15 -10 -5 -2 -4 -6 -8
2

5

10

15

x

20

ii) g(x) = x 3 (x d h 2 x 3 (x dx

1)4 si 0 6 x 6 1
4
2

i h 2 1)4 = 3 px (x 3

1) + 4x 3 (x

1)

3

i

=

2 (x 3

1) (7x

3

1) x

1 3

1 En el intervalo 0; 7 en el intervalo.

g (x) > 0, lo que implica que la función es creciente

En el intervalo en el intervalo.

1 7; 1

g(x) < 0, lo que implica que la función es decreciente

1 7 ; 0:147 51

1 Por lo tanto hay un máximo en el intervalo (0; 1), el cual es g( 7 ) = 0:147 51, y dos minimos locales en f (0) y f (1)

y

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x

1.1

5

3) Sea f (x) = e x2 , si x 6= 0 y f (0) = 0, mostrar que f es continua pata todo x, y f (n) es continua para...
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