Matematicas

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5.4 Convergencia de una serie de Fourier.

convergencia de la serie de FOURIER
 
Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones sobre  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] para saber a qué converge su serie de Fourier.
 
Definición.   (Función continua porpartes)
Decimos que una función 
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] es contínua por partes en el intervalo
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] si:
i)  
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] está definida y es contínua en 
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], excepto quizás en un número finito de puntos.
ii)  
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] exiten y son finites.
iii) En cada punto 
iv) [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] donde 
v) [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] no es continua,
vi) [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y 
vii) [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] existen y son finitos.
 
Graficamente, una función 
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]  escontínua por partes si tiene solamente un número finito de discontinuidades y además, estas discontinuidades no son infinitas.
Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue:
 [pic]
 
Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir una noación especial:

[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] 
Ejemplo 5.
La función  definida como:

[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.
 
Definición.   (Función suave por partes)
Una función
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] es suave por partes en el intervalo 
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] si 
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] son funciones continuas por partes en [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
 
Ejemplo 6.
La función del ejemplo 5, es suave por partes en [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]  ya que de hecho [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] es:
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
Claramente esta última es contínua por partes en[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
 
Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta se sale de los objetivos del curso.
Primer Teorema de convergencia
Sea  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] una función suave por partes en [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]. Entonces laserie de Fourier de  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] converge en cada punto  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] al valor:
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales.
 
Observaciones:
1.         Si  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] es continua en [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces la serie de Fourier converge a  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]. De hecho este es el valor al cual esperábamos que converja la serie (recuérdese el problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente se logra en los puntos donde  la función es continua.
2.         Si  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] es discontinua en [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces la serie de Fourier no converge a [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], pero si al punto medio entre los límites laterales.
3.         El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los puntos extremos del intervalo. El siguiente criterio de convergencia, mejora este “defecto”, aunque cambian las hipótesis.
 
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