Matematicas

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1


Cuadrante 1
(+ , +)
Cuadrante 2
(- , +)

Origen

Eje de las abscisas

Cuadrante 4
(+ , -)
Cuadrante 3
(- , -)

Eje de las ordenadas

Coordenadas de un punto A del plano le corresponde una pareja ordenada de números reales, una abscisa y una ordenada, que se le llaman coordenadas de punto.
Pareja ordenada: Usamos la notación (a,b) para detonar la pareja ordenada en el cuálel primer elemento es a (abscisa) y el segundo es b (ordenada).

2

En matemáticas las relaciones entre variables se expresan mediante ecuaciones.
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se interceptan.
La forma más común de representar gráficamente las ecuaciones con dos variables (x, y) es el sistema de coordenadas cartesianas.
A (0, 5) F (-3, -2)
B (-3,2) G (0, -4)
C (4, 7) H (-2, 5)
D (5, -3) I (7, -1)
E (-6, 6) J (-8, 4)











3


Pendiente de la Recta
La pendiente de la recta expresa la razón de crecimiento constante o promedio de sus puntos.
Este crecimiento puede ser positivo (la recta asciende a la derecha).
Negativo (en este caso asciende a al izquierda).4
Ecuación de la pendiente:
m
y
y2 – y1

x
X2 – x1
= =


θ
θ´
X1 X2
Y2

Y1
y2 – y1
X2 – x1

m= tan θ
Tan θ = y2-y1
X2-x1



Los ángulos θ y θ´son iguales ya que sus lados son paralelos.
+m
Como tan θ´ = y2-y1, entonces tan θ = x2-x1
Ejemplo
-3
A(1, 5 ) B(4, 7)
m =
=
7 -5 2
θ =33.66°
2
-2
4 - 1 3
m =
2
3
3
m= Tan θ
Tan
θ= 1 m

θ =33.66°
θ= Tan-1(m); θ= Tan-1 (0.666);
5
Pendientes de rectas paralelas y perpendiculares
Pendientes paralelas
Dos rectas paralelas tienen siempre el mismo ángulo de inclinación y recíprocamente.
Por esta razón sus pendientes resultan ser iguales.+m2
+m1


L1 // L2
m1=m2
TanΘ1= Tan Θ2

Θ2
Θ1



Θ2
Θ1

Pendientes de rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signo contrario.
Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90°. Esto implica que sus tangentes son recíprocas y difieren en signo, es decir, el producto de sus pendientes es -1.6
Condición de perpendicularidad
Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si, y sólo si el producto de sus pendientes es -1
m1 m2= -1

1
Θ2
Θ1
L2 -m
L1 +m

3
1
m2

2
3
Θ1
m1 – m2= -1 = =
2
m1= -1 / m2
m1= 3 / 2
m2= - 2 / 3
Θ1


7
Ecuación de la recta en la forma pendiente ordenada al origen
Este modelo lineal es uno de los más simples yprácticos para describir una recta y dibujar su gráfica.
Con la pendiente m y la intersección –y (la ordenada al origen) de una recta, se obtiene su ecuación:
y= mx + b



+m
Θ= 71.56°
3
1
b= 5

La recta con pendiente m= 3, y ordenada al origen b= 5, tiene por ecuación y= 3x + 5
Θ= 71.56°


8
Ecuación punto pendiente
y-y1= y2-y1 / x2-x1 (x-x1)



mPuntos: A(2, 4 ) ; B(3, 5)
(x – 2)
5 - 4
y – 4

3 - 2
=
(x – 2)
1
y – 4

+m
1
=
y-4= (x-2)

Θ= 45°
m= 1
a
b
y-4= (x-2)

Θ=45°


9
Forma simétrica de la ecuación de la recta
Conociendo las intersecciones a y b de una recta con los ejes coordenados, se puede escribir su ecuación:
x
y
b

a
+ = 1
Debajo de cada variable estáescrita la intersección con el eje correspondiente.
Dos puntos es todo lo que se necesita para determinar una recta. Cuando esos dos puntos son las intersecciones de la recta como los ejes coordenados la ecuación adopta una forma sencilla y útil.

b
Ecuación Simétrica:
x
5
y
8

-m
+ = 1

a
La abscisa al origen de la recta es 5 y 8 es la ordenada al origen, es decir, son la...
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