Matematicas

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´ Indice general
1. Diagonalizaci´n de matrices (M´dulo 4) . . . . . . . . . . o o 1.1. M´todo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . e 1 2

1.

Diagonalizaci´n de matrices (M´dulo 4) o o

El problema de diagonalizaci´n de matrices y c´lculo de valores proo a pios aparece en numerosos problemas de la f´ ısica y en el an´lisis de a sistemas din´micos. a Dichos problemas, en general,est´n relacionados con la formulaci´n a o recurrente del tipo dado v0 , se calcula vk+1 = A¯k con k ∈ N ¯ ¯ v (1)

siendo A una matriz cuadrada. Consideremos un problema del tipo anterior (1). Supongamos que existen λ ∈ R y v ∈ Rn tales que A¯ = λ¯, es decir, λ ∈ R es un valor ¯ v v n propio de A y v ∈ R es un vector propio asociado a λ. Entonces, si ¯ v = v0 para cada k = 1 en (1) se tiene: ¯ ¯v1 = A¯0 = A¯ = λ¯ ¯ v v v para k = 2 v2 = A¯1 = A(A¯) = A2 v = λ2 v ¯ v v ¯ ¯ y as´ aplicado de forma recurrente para k se cumple ı vk = Ak v = λk v . ¯ ¯ ¯ La expresi´n anterior indica que se puede predecir en (1) el comporo tamiento de vk a partir del que tiene λk v que a su vez depende de a ¯ ¯ k qu´ tiende λ . e 1

2

Diagonalizaci´n. M´todos Num´ricos o e e

En la pr´ctica, basta contener una aproximaci´n num´rica cercana a o e a los valores λ y vectores propios exactos x. ¯ Recordemos que los pasos para diagonalizar (si es posible) una matriz A considerando expresiones matriciales son: PASO 1. Encontrar los valores propios. Para ello se resuelve la ecuaci´n caracter´ o ıstica det(A − λIn ) = 0. PASO 2. Para cada valor propio λk . Encontrar vectores propios asociados λk detal forma que sean linealmente independientes. Para ello se resuelve la ecuaci´n matricial (A − λk In )X = 0 para cada λk . o PASO 3. Si la matriz es diagonalizable, construir la matriz diagonal Λ y la matriz de paso P correspondientes a los valores y vectores propios hallados en los pasos anteriores tales que P −1 AP = Λ. Sin embargo, los algoritmos num´ricos basados en este procedimiene to no soneficientes. De hecho, no hay una f´rmula general para resolver o la ecuaci´n de grado quinto o mayor. Por ello, los mejores m´todos o e num´ricos para encontrar los valores propios evitan la ecuaci´n carace o ter´ ıstica. Los m´todos num´ricos de diagonalizaci´n m´s conocidos se basan e e o a en el siguiente resultado visto en el apartado 3.2. 11 del libro Fundamentos de Matem´ticas: a

Googleemplea m´todo de potencias e para ordenar los resultados de la b´squeda u solicitada (usa su propio algoritmo PageRank) asignando a cada p´gina web un a n´mero en funci´n del u o n´mero de enlaces de u otras p´ginas que la a apuntan, el valor de esas p´ginas y otros a criterios no p´blicos. u

‘Si dos matrices A y B de orden n × n son semejantes entonces tienen el mismo polinomio caracter´stico y,por tanto, los mismos valores ı propios con las mismas multiplicidades’. Las t´cnicas iterativas m´s conocidas para estimar valores y vectoe a res propios son el m´todo de Jacobi, el algoritmo QR y el m´todo de e e el potencias.

1.1.

M´todo de potencias e

El m´todo de potencias se aplica a matrices cuadradas que poseen e un valor propio llamado valor propio estrictamente dominante talque es mayor que cualquier otro valor propio en t´rminos de valores absolutos. e En otras palabras, si A es una matriz cuadrada diagonalizable de orden

Ana Ma D´ Elvira Hern´ndez, Luis Tejero ıaz, a n tal que sus valores propios son {λ1 , λ2 , . . . , λn } entonces λ1 es un valor propio estrictamente dominante si se cumple |λ1 | > |λ2 | ≥ · · · ≥ |λn |.

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Para simplificar, supongamos que Aes diagonalizable (esto no es necesario para aplicar el m´todo de potencias). Entonces si se considera e {¯1 , v2 , . . . , vn } una base de Rn de vectores propios asociados respectivav ¯ ¯ mente a los valores propios {λ1 , λ2 , . . . , λn } se verifica que para cualquier x ∈ Rn existen α1 , α2 , . . . , αn ∈ R tales que ¯ x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn . ¯ ¯ ¯ ¯ Por tanto, A¯ = α1 λ1 v1 + α2...
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