matematicas

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´
ISIMA CONCEPCION
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y F´
ISICA APLICADAS

Pauta Test N◦2 V-1
C´lculo I - IN1002C
a
Preguntas
1. Graficar la regi´n delplano cartesiano acotada por:
o
cuadrante.

4x2 + 9y 2 + 8x − 54y − 59 ≤ 0

y el primer

4x2 + 9y 2 + 8x − 54y − 59 ≤ 0 ⇔ 4(x2 + 2x) + 9(y 2 − 6y ) ≤ 59

⇔ 4(x + 1)2 − 4 + 9(y − 3)2 − 81 ≤ 59⇔ 4(x + 1)2 + 9(y − 3)2 ≤ 144
144
4(x + 1)2 9(y − 3)2
+
≤
⇔
144
144
144
(x + 1)2
(y − 3)2
⇔
+
≤1
36
16
(y − 3)2
(x − (−1))2
+
≤ 1.
⇔
2
6
42

(1.2 Puntos)

(0.8 Puntos)2
Para las preguntas 2, 3 y 4 responda s´lo dos de ellas
o
2. Usando la definici´n de l´
o
ımite demuestre que: l´ (3x − 2) = 4
ım
x→ 2

∀ ε > 0, ∃ δ =

ε
>0:
3
0 < |x − 2| < δ ⇒|3x − 2 − 4| = |3x − 6| = 3|x − 2| ≤ 3 ·

(0.5
(0.5
(0.5
(0.5

Puntos
Puntos
Puntos
Puntos

3. Calcular

ε
= ε.
3

el reemplazo de la definici´n)
o
al encontrar δ)
operatoriasalgebraicas)
redacci´n formal)
o

l´ √
ım

x→ 3

x−3
√.
x− 3
x−3
√
l´ √
ım
x→ 3
x− 3

=
=
=
=

√
√
x−3
x+ 3
√ ·√
√
l´ √
ım
x→ 3
x− 3
x+ 3
√
√
(x − 3)( x + 3)
√
l´ım √
x→3 ( x)2 − ( 3)2
√
√
(x − 3)( x + 3)
l´
ım
x→ 3
x−3
√
√
√
l´
ım x + 3 = 2 3.

(0.4P untos)
(0.4P untos)
(0.4P untos)
(0.4P untos)

x→ 3

4. Para la funci´n f (x) cuyagr´fica es
o
a
5
4
3
2
1
−2

−1−1

1

2

3

4

5

encuentre ( si acaso existen ) l´ f (x), para:
ım
x→ x0

a)

x0 = 3,

b) x0 = 2,

c) x0 = 1,

d) x0 = −1.Justifique.

l´ f (x) = 4;
ım

(0.5 Puntos)

x→ 3

l´ f (x) = 4, pues l´ f (x) = l´ f (x) = 4;
ım
ım
ım

(0.5 Puntos)

l´ f (x), no existe, porque l´ f (x) = 2 = l´ f (x) = 2, 5;
ım
ım
ım(0.5 Puntos)

x→ 2

x→ 1

x→2+

x→2−

x→1+

l´ f (x), no existe, porque
ım

x→−1

x→1−

l´
ım f (x) = 2, 5 = l´
ım f (x) = 2.

x→−1+

x→−1−

(0.5 Puntos)

3...