Matematicas

Ejercicios de Análisis Funcional

Rafael Payá Albert
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

´ ANALISIS FUNCIONAL Relaci´n de Ejercicios No 1 o

1. Dar un ejemplo de una distancia en un espacio vectorial, que no proceda de una norma. 2. Probar que dos normas · 1 y · 2 en un mismo espacio vectorial X son equivalentes si, y s´lo si, existen dos constantes estrictamentepositivas α y β o tales que α x 1 ≤ x 2 ≤ β x 1 para todo x ∈ X. 3. Probar que, en un espacio normado, el cierre de una bola abierta coincide con la correspondiente bola cerrada. ¿Es cierta esa afirmaci´n en cualquier espacio o m´trico? e 4. Sea X un espacio normado y U = {x ∈ X : x < 1}. Se define f (x) = x 1+ x (x ∈ X).

Probar que f es un homeomorfismo de X sobre U . 5. Probar que un espacionormado X es un espacio de Banach si, y s´lo si, toda serie o absolutamente convergente de vectores de X es convergente. 6. Probar que en cualquier espacio de Banach la intersecci´n de una sucesi´n decreo o ciente de bolas cerradas nunca es vac´ ıa 7. Sea S = {x ∈ X : x = 1} la esfera unidad de un espacio normado X. Probar que X es completo si, y s´lo si, S es completa. o 8. Sea X un espacio vectorialtopol´gico y M un subespacio de X, M = X. Probar o que M tiene interior vac´ y que M es un subespacio de X. ıo

´ ANALISIS FUNCIONAL Relaci´n de Ejercicios No 2 o (Fecha l´ ımite de entrega: 9 de noviembre)

1. Probar las desigualdades de Young, H¨lder y Minkowski, discutiendo para cada o una de ellas la posible igualdad. 2. Sea 1 ≤ p < ∞ y x ∈ lp . Probar que para p < q ≤ ∞ se tiene que x ∈lq y x q ≤ x p . Probar tambi´n que lim x q = x ∞ . e
q→∞

Λ 3. Probar que si Λ es un conjunto no vac´ arbitrario, el espacio l∞ de todas las ıo funciones acotadas de Λ en IK, con la norma del supremo, es un espacio de Banach. ¿Cuando es separable?

4. Probar que la sucesi´n {en } de los vectores unidad es una base de Schauder de c0 o x(n) en converge incondicionalmente en c0 . y que, paratodo x ∈ c0 , la serie
n≥1

Denotando por e0 a la sucesi´n constantemente igual a 1, probar tambi´n que la o e sucesi´n {en−1 } es una base de Schauder de c. o 5. Dar un ejemplo de una sucesi´n: o a) Que converja en l∞ pero no en l1 ni en l2 . b) Que converja en l2 pero no en l1 . 6. Probar que si L es un espacio topol´gico de Hausdorff localmente compacto, el o espacio C0 (L) de las funcionescontinuas de L en IK que se anulan en el infinito L es un subespacio cerrado de l∞ , luego un espacio de Banach con la norma del m´ximo. Probar tambi´n que el espacio C00 (L) de las funciones continuas de a e soporte compacto es un subespacio denso de C0 (L). Mostrar con alg´n ejemplo u N N concreto que C00 (IR ) = C0 (IR ). 7. Probar las desigualdades integrales de H¨lder y Minkowski, discutiendo laposible o igualdad.

8. Probar las siguientes afirmaciones: a) Si 1 ≤ p < q < ∞ y f ∈ Lq [0, 1], entonces f ∈ Lp [0, 1] y f p ≤ f q b) La inclusi´n reci´n probada es estricta. De hecho, fijado 1 ≤ p < ∞, existe o e g ∈ Lp [0, 1] tal que g ∈ Lq [0, 1] para todo q > p / c) Si f ∈ L∞ [0, 1] entonces f ∈ Lp [0, 1] para 1 ≤ p < ∞ pero el rec´ ıproco no es cierto d) Para 1 ≤ p, q ≤ ∞ los espacios Lp(IR) y Lq (IR) no son comparables. De hecho, para cada valor de p existe f ∈ Lp (IR) tal que f ∈ Lq (IR) para todo q = p. / 9. Para t ∈ [0, 1] y n ∈ IN definimos xn (t) = tn , yn (t) = tn+1 tn+2 tn+1 , zn (t) = − n+1 n+1 n+2

obteniendo tres sucesiones de funciones de [0, 1] en IR. Estudiar la convergencia de dichas sucesiones en cada uno de los siguientes espacios: a) Lp [0, 1] con 1 ≤ p < ∞ b)C[0, 1] con la norma del m´ximo a 1 c) El espacio C [0, 1] de las funciones de clase C1 en el intervalo [0, 1] con la norma dada por x = x ∞+ x ∞ (x ∈ C 1 [0, 1]) 10. Probar que para 1 ≤ p < ∞ el espacio de Banach Lp [0, 1] es separable, mientras que L∞ [0, 1] no lo es.

´ ANALISIS FUNCIONAL Relaci´n de Ejercicios No 3 o Fecha l´ ımite de entrega: 11 de diciembre

1. Dar un ejemplo de una...