Matematicas

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En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjuntode elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones,salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que seobtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos sonimportantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Unabase ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la baseortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale alespacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio deHilbert.
[editar] Ejemplos
* El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3.
Demostración: Mediante un cálculo directo se verifica que 〈e1,e2〉 = 〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

entonces, {e1,e2,e3} reconstruye R3 y por...