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Tema 2

Conceptos b´sicos sobre funciones de una variable a
1.
1.1.

Intervalos y funciones
El orden de los n´ meros reales y las inecuaciones u

Es habitual representar el conjunto de los n´mero reales R como una recta (llamada recta real ): u −∞ 0 +∞

Podemos hacer esto porque existe un orden total (≤) definido en R: dados dos n´meros reales, a y b, u se cumple una de las siguientesafirmaciones: a 0 y a · b ≤ c entonces b ≤ c a c 4. Si a > 0 y a · b ≤ c entonces b ≥ a 5. Si a + b ≥ c entonces a ≥ c − b 6. Si a − b ≥ c entonces a ≥ c + b c a c 8. Si a < 0 y a · b ≥ c entonces b ≤ a 7. Si a > 0 y a · b ≥ c entonces b ≥ Estas propiedades son v´lidas para cualquier trio de n´meros reales: a, b y c. a u 1

Tambi´n son ciertas si reemplazamos ≤ por < y ≥ por >. e Ejemplo 2 Podemossimplificar la inecuaci´n 5x + 3 < 2x − 1 usando las propiedades anteriores. Agruo pamos los monomios de grado uno a la izquierda y los t´rminos independientes a la derecha: e 5x − 2x < −3 − 1 ⇒ 3x < −4 y despejamos x, pasando el coeficiente 3 al otro lado de la desigualdad: 4 x 2x − 8, actuamos del mismo modo: agrupamos los o monomios de grado uno a la izquierda y los t´rminos independientes a laderecha: e −x − 2x > −4 − 8 ⇒ −3x > −12 y despejamos x, pasando el coeficiente −3 al otro lado de la desigualdad: x< −12 ⇒ x < 4. −3

1.2.

Intervalos

El orden de los n´meros reales permite definir unos tipos de conjuntos que tienen una especial releu vancia: los intervalos. Existen distintos tipos, como podemos observar en la siguiente tabla: Notaci´n o [a, b] (a, b) [a, b) (a, b] [a, +∞) (a,+∞) (−∞, a] (−∞, a) (−∞, +∞) Definici´n o {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} {x ∈ R / a < x < b} {x ∈ R / a < x ≤ b} {x ∈ R / a ≤ x} {x ∈ R / a < x} {x ∈ R / x ≤ a} {x ∈ R / x < a} R {x ∈ R / a ≤ x < b} Clasificaci´n o cerrado y acotado = compacto abierto y acotado acotado (ni abierto ni cerrado) acotado (ni abierto ni cerrado) cerrado y no acotado abierto y no acotado cerrado y no acotado abierto y no acotadoabierto, cerrado y no acotado

donde a y b son n´meros reales y se conocen como los extremos del intervalo. u
Tambi´n es habitual representar los intervalos que no son compactos mediante corchetes orientados en sentido e contrario. Por ejemplo, se suele escribir ]a, b[ en vez de (a, b).

La longitud de un intervalo acotado se define como la diferencia entre el extremo superior (b) y el extremoinferior (a): longitud [a, b] = longitud (a, b) = b − a Ejemplo 4 La longitud del intervalo [−2, 4] es longitud [−2, 4] = 4 − (−2) = 4 + 2 = 6 y del mismo modo longitud (−2, 4) = 6.

2

El centro de un intervalo acotado es la media aritm´tica de los extremos del intervalo. Por ejemplo, e el centro de [a, b] es c= a+b . 2

Ejemplo 5 El centro del intervalo [−2, 4] es c= (−2) + 4 = 1. 2

Lassoluciones de las inecuaciones lineales son intervalos no acotados. Ejemplo 6 Consideramos la inecuaci´n 5x − 3 ≤ x + 9. Agrupamos los monomios de grado uno a la o izquierda y los t´rminos independientes a la derecha: e 5x − x ≤ 3 + 9 ⇒ 4x ≤ 12 y despejamos x, pasando el coeficiente 4 al otro lado de la desigualdad: x≤ 12 ⇒ x ≤ 3. 4

Por lo tanto, las soluciones de la inecuaci´n se correspondencon el intervalo (−∞, 3]. o

1.3.

Funciones

Sea D un subconjunto de R (es decir, D ⊂ R). Definici´n 1 Una funci´n real de una variable real en D es una regla que asigna a cada punto x ∈ D o o un unico n´mero real representado por f (x). Se suele usar la siguiente notaci´n para indicar la funci´n: ´ u o o f : D −→ R. o u Ejemplo 7 f : R → R definida por f (x) = x2 es una funci´n que a cadan´mero real x le asigna su cuadrado. Ejemplo 8 f : [0, +∞) → R definida por f (x) = x le asigna su ra´ cuadrada. ız Definici´n 2 Dada una funci´n f : D −→ R. o o Llamaremos dominio de f , y denotamos dom(f ), al conjunto D. Llamaremos imagen de un elemento x ∈ D al n´mero real f (x). u Llamaremos conjunto imagen de f , y denotamos img(f ) o f (D), al conjunto formado por las im´genes a de todos...
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