Matematicas

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1)=> 2x + 1 ≠2x + 2
Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1)=> 2x + 2 = 2x + 2
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1)
X=0 2=2
Ecuación
Unaecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad seacierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
x + 3 = −2 x = −5
Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una mismacantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1ºQuitar paréntesis.
2ºQuitar denominadores.
3ºAgrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4ºReducir los términos semejantes.
5º Despejar laincógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesisy simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.
Resolución deecuaciones de segundo grado
Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

1. Ecuaciones polinómicas enteras
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros
Esuna ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
Tomamos losdivisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0
Una raíz es x = 1 .
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar...
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