matematicas

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1= b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 1800 - b1.

Se define el ANGULO entrel1 y l2 como  
el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1. 
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:  1 = 1 - 2 (1)
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan 1 = tan (1 - 2)
,  (2) 
 
También,cot 1 = cot (1 - 2)
,  (3) 
Puesto que m1=tan 1 y m2=tan 2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan 1,  (2)’ 
  
 
Y cot 1,  (3)’ 
 
Las ecuaciones (2)’ y(3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo 1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismoentre rectas, como la afirma el siguiente teorema. 
 
TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente.Entonces: 
i)  l1 es paralela a l2 (l1 ||  l2)  m1 = m2
ii)  l1 es perpendicular a l2 (l1 l2)  m1 . m2 = -1 







Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2. 
En efecto, como l1 ||l2, entonces losángulos 1 y 2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tan1 = tan2, es decir, m1 = m2 . 
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tan1 = 0, y de aquí, 1 = 1 - 2 = 0, de donde 
1 = 2 ypor lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces  y cot 1 = cot  Sustituyendo 
Este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduceque m1. m2 = -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces  y como m2=tan2 y m1=tan1, se tiene que, donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor inclinación 1....