matematicas

Función racional


Función racional de grado 2:


Función racional de grado 3:

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:


donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular comolos polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
Ejemplos
Función homográfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.2
Propiedades
Toda función racional es de clase  en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor oigual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).
Integración de funciones racionales
Dada una función racional:


Si el denominador es un polinómico mónico  con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:


Si  entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fraccionesracionales de las formas:


Por lo que la integral de la función  es una combinación lineal de funciones de la forma  :


Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.
Gráfica de asíntotas[editar · editar código]
Véase también: Gráfica de una función
Las asíntotas ayudan a larepresentación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto quelíneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no formanparte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
Asíntotas verticales: rectas perpendicularesal eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
Nota: cte=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.


Comportamientoasintótico entre una curva y una recta.

Determinación analítica de asíntotas[editar · editar código]
En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división por ceroo las formas indeterminadas), aportan información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmentecomo «soluciones» (odirecciones) en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.
Cálculo de asíntotas por medio de límites[editar · editar código]
Véase también: Límite...