matematicas

1. Para cada una de las matrice siguientes
2
1
4 1
6 1 4
0
A=6
40
1
1
2 8
2

0
0
1
0

3
2
17
7
05
4

Determinar
i) El rango de la matriz A
ii) La nulidad
iii) Bases paraRA ; CA; y NA
iv) Compruebe el teorema del rango con la matriz A
2. Encuentre una base para los siguientes subespacios.
*2 1 3 2 3 3 2 2 3 2 6 3 2 2 3+
i) W = 4 15 ; 4 0 5 ; 4 1 5 ; 4 0 5 ; 4 25
23
4
2
1

2
1
A = 40
0

ii) W=

2
1
0

1
;
1

1
0
1

3
2 1
1 05
0 0

2
;
2

1
1

3. Sea Amxn una matriz de orden mxn y Bnxn una matriz de orden nxn invertible.Muestre que (A) = (AB)
sugerencia: Utilice el teorema del rango
2
2
4. Sean = f1 x + x ; x x2 ; x2 g , & = f1; 1 + x; 1 + x + x g base de P2 y p(x) = 2 3x + x2 y q(x) =
(1 x)(1 + x)
i) Encuentrelos vectores coordenados de p y q con respecto a las bases y &
ii) Encuentre la matriz de cambio de base de a & y de & a 2 3
1
iii) Suponga que r(x) es un vector en P2 tal que [r(x)]& = 4 1 5 :Escribir a r(x) como combinación lineal de
2
los vectores de la base de :
1 1
2 0
0 1
0 2
5. Sea = f
;
;
;
g una base para M2x2 : Si " es la base estandar de para M2x2
1 0
3 1
1 0
0
4hallar
i) P "
2 3
2 3
1
2
607
617
ii) Si A y B son dos matrices en M2x2 tal que [A] = 6 7 y [B] = 6 7 hallar 3A 2B
415
415
2
2
1
3
6. Suponga que C = f1 + x; 1 xg y P C =
para cierta basede P1 . Encuentre la base C
2
5
7. Determine si los siguientes vectores son L.I en el espacio vectorial dado.
1
3
1 0
1 1
2 2
i) En M2x2 :
;
;
;
2
1
0
5
1
1
2
5
ii) En P2 : 1 x +x2 ; x 2x2 ; 1 + x x2
2 3
2 3
x
1
8. Sea W = f4y 5 2 R3 : x + 2y 3z = 0g y v = 4 15 : Determine la descompsición ortogonal de v con respecto
z
2
aW

9: Sea H

un subespacio de Rn y

=fv 1 ; v 2 ; :::; v k g una base ortonormal para H. Sea v 2 Rn ; muestre que

proy H (v) = v si y solo si v 2 H
proy H (v) = 0 si y solo si v 2 H ?
2

2

2

Si x; y 2 Rn entonces kx + yk =...