Matematicas
Páginas: 5 (1081 palabras)
Publicado: 10 de octubre de 2012
CALCULO NUMERICO
PRACTICO No 4: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
A. Métodos Directos
A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward
Algoritmo de sustitución backward: [pic]
• Algoritmo de eliminación de Gauss: [pic]
[pic]
1. Encuentre, si existe, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminaciónGaussiana y sustitución hacia atrás. Describa el sistema en función de la solución encontrada.
a- [pic] b- [pic]
c- [pic] d- [pic]
A-2. Factorización LU y Sustitución Forward
2. Factorizar las siguientes matrices utilizando el algoritmo de factorización LU.
a) A = [pic] b) B = [pic] c) C = [pic]
3. Utilizar la factorización realizada en el ejercicio 2.a yresolver el sistema Ax = b, sabiendo que b[pic]= [4, 1, -3, 4]
4. Resolver los siguientes sistemas lineales utilizando factorización LU
a)[pic] b) [pic]c)[pic]
5. Resolver, previa descomposición LU, el sistema A x = b. Calcular el determinante de A.
[pic]
A-3. Pivoteo y número de dígitos
6. Resolver el siguiente sistema, trabajando con tres decimales exactos. Repetirel procedimiento con cuatro decimales.
[pic]
7. Resolver los siguientes sistemas utilizando eliminación gaussiana y redondeo en tres dígitos, a) sin pivoteo, b) con pivoteo parcial y comparar con la solución exacta:
a) [pic] b) [pic]
solución: [pic] solución: [pic]
[pic]
8. Resolver los sistemas A x = b y B x = b utilizando: a) Descomposición LUsin pivoteo, b) descomposición LU con pivoteo parcial y c) descomposición LU con pivoteo completo
[pic][pic]
9. Se conoce como matriz de Hilbert a la matriz n x n definida como H[pic]ij = 1 / ( i + j - 1 ), con 1[pic]. Sea à la matriz 4 x 4 cuyos elementos definidos según los elementos de la matriz de Hilbert están redondeados con cinco decimales exactos. Usando descomposición LU, resolver elsistema à x = b ,donde b = (0.58333 , 0.21667 , 0.11666 , 0.07381)T , con igual precisión que los elementos de Ã.
10. Determinar cuáles de las siguientes matrices son no singulares y computar su inversa
[pic] [pic] [pic]
11. Sea la matriz [pic] y los vectores [pic]
a) Resolver el sistema lineal aplicando eliminación Gaussiana a la matriz ampliada
[pic]
b) Resolverel sistema encontrando y multiplicando la inversa de la matriz A.
c) Determinar cuál de ambos métodos requiere menos operaciones.
B. Métodos Iterativos
B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos
21. Dado el sistema lineal A x = b, con [pic], se encontraron dos soluciones aproximadas: [pic]. a) Computar el vector residual correspondiente a dichassoluciones aproximadas. b) Determinar el error en ambas soluciones.
22. a) Resolver el siguiente sistema utilizando eliminación Gaussiana y redondeo en cinco dígitos. b) Encontrar el vector residual y dar una estimación del número condición. c) Calcular el número condición exacto.
[pic]
23. Calcular, si existe, el número condición de las siguientes matrices
[pic] [pic] [pic]
24. Lossiguientes sistemas lineales tienen a x como solución exacta y a [pic] como solución aproximada. Utilizando los resultados obtenidos del ejercicio anterior, calcular [pic] y [pic].
a)[pic] b)[pic] c) [pic]
x = [pic] x = (1, 1)[pic] x = (1/7, -1/6)[pic]
[pic] = (-0.1, -3.15, -3.14)[pic] [pic] = (0.96, 1.02)[pic] [pic] = (0.142, -0.166)[pic]
25. Teorema: Dada unamatriz A no singular tal que[pic], la solución [pic] de [pic] aproxima a la solución x de [pic] con un error estimado de [pic].
a) Resolver el sistema 24.b cambiando el término a[pic] de la matriz de coeficientes por 0.9999 redondeando en cinco dígitos. Comparar el error relativo de la solución obtenida con la cota propuesta por el teorema.
b) Resolver el sistema 24.b cambiando el...
PRACTICO No 4: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
A. Métodos Directos
A-1. Eliminación Gaussiana y Sustitución Backward
Algoritmo de sustitución backward: [pic]
• Algoritmo de eliminación de Gauss: [pic]
[pic]
1. Encuentre, si existe, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminaciónGaussiana y sustitución hacia atrás. Describa el sistema en función de la solución encontrada.
a- [pic] b- [pic]
c- [pic] d- [pic]
A-2. Factorización LU y Sustitución Forward
2. Factorizar las siguientes matrices utilizando el algoritmo de factorización LU.
a) A = [pic] b) B = [pic] c) C = [pic]
3. Utilizar la factorización realizada en el ejercicio 2.a yresolver el sistema Ax = b, sabiendo que b[pic]= [4, 1, -3, 4]
4. Resolver los siguientes sistemas lineales utilizando factorización LU
a)[pic] b) [pic]c)[pic]
5. Resolver, previa descomposición LU, el sistema A x = b. Calcular el determinante de A.
[pic]
A-3. Pivoteo y número de dígitos
6. Resolver el siguiente sistema, trabajando con tres decimales exactos. Repetirel procedimiento con cuatro decimales.
[pic]
7. Resolver los siguientes sistemas utilizando eliminación gaussiana y redondeo en tres dígitos, a) sin pivoteo, b) con pivoteo parcial y comparar con la solución exacta:
a) [pic] b) [pic]
solución: [pic] solución: [pic]
[pic]
8. Resolver los sistemas A x = b y B x = b utilizando: a) Descomposición LUsin pivoteo, b) descomposición LU con pivoteo parcial y c) descomposición LU con pivoteo completo
[pic][pic]
9. Se conoce como matriz de Hilbert a la matriz n x n definida como H[pic]ij = 1 / ( i + j - 1 ), con 1[pic]. Sea à la matriz 4 x 4 cuyos elementos definidos según los elementos de la matriz de Hilbert están redondeados con cinco decimales exactos. Usando descomposición LU, resolver elsistema à x = b ,donde b = (0.58333 , 0.21667 , 0.11666 , 0.07381)T , con igual precisión que los elementos de Ã.
10. Determinar cuáles de las siguientes matrices son no singulares y computar su inversa
[pic] [pic] [pic]
11. Sea la matriz [pic] y los vectores [pic]
a) Resolver el sistema lineal aplicando eliminación Gaussiana a la matriz ampliada
[pic]
b) Resolverel sistema encontrando y multiplicando la inversa de la matriz A.
c) Determinar cuál de ambos métodos requiere menos operaciones.
B. Métodos Iterativos
B-1. Número condición. Perturbaciones y número de dígitos
21. Dado el sistema lineal A x = b, con [pic], se encontraron dos soluciones aproximadas: [pic]. a) Computar el vector residual correspondiente a dichassoluciones aproximadas. b) Determinar el error en ambas soluciones.
22. a) Resolver el siguiente sistema utilizando eliminación Gaussiana y redondeo en cinco dígitos. b) Encontrar el vector residual y dar una estimación del número condición. c) Calcular el número condición exacto.
[pic]
23. Calcular, si existe, el número condición de las siguientes matrices
[pic] [pic] [pic]
24. Lossiguientes sistemas lineales tienen a x como solución exacta y a [pic] como solución aproximada. Utilizando los resultados obtenidos del ejercicio anterior, calcular [pic] y [pic].
a)[pic] b)[pic] c) [pic]
x = [pic] x = (1, 1)[pic] x = (1/7, -1/6)[pic]
[pic] = (-0.1, -3.15, -3.14)[pic] [pic] = (0.96, 1.02)[pic] [pic] = (0.142, -0.166)[pic]
25. Teorema: Dada unamatriz A no singular tal que[pic], la solución [pic] de [pic] aproxima a la solución x de [pic] con un error estimado de [pic].
a) Resolver el sistema 24.b cambiando el término a[pic] de la matriz de coeficientes por 0.9999 redondeando en cinco dígitos. Comparar el error relativo de la solución obtenida con la cota propuesta por el teorema.
b) Resolver el sistema 24.b cambiando el...
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