Matematicas

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N´meros reales u
−3

Potencias y Ra´ ıces

Ejercicios Resueltos

1. Calcular: Soluci´n: o 1 − 3
−3

1 − 3

+ 90 · 3−1 − 3 · (−3)−2

+ 90 · 3−1 − 3 · (−3)−2 =

1 − 3 1 − 27

3

−1

+ 90 ·
−1

1 − 3 · ((−3)2 )−1 3 1 9

=

+ 30 − 3 · 9−1 = −27 + 30 − 3 ·

=3−

1 8 = 3 3

2. Simplificar cada expresi´n, y escribir el resultado de manera que contenga s´lo o oexponentes positivos. (a) (3a−5 )2 (−2a12 )3 (b) (3a b)
2 −1 −3

1 − a−3 b5 3

Soluci´n: o (a) (3a−5 )2 (−2a12 )3 = (32 a−10 )((−2)3 a36 ) = (9 · (−8)) · (a−10 · a36 ) = −72 a−10+36 = −72 a26

6

N´meros reales - Potencias y ra´ u ıces
−3 −3

Ejercicios resueltos 7

(b) (3a b)

2

−1

1 − a−3 b5 3

=3 a b

−1 −2 −1

1 − 3

a9 b−15

= 3−1 a−2 b−1 (−1) 33 a9 b−15 = −3−1+3a−2+9 b−1−15 = −32 a7 b−16 9 a7 = − 16 b

3. Simplificar y expresar su valor mediante potencias con exponentes positivos. (a) 1002 · 0.0015 · 10003 (b) 1005/2 · 20−7 Soluci´n: o (a) 1002 · 0.0015 · 10003 = 104 · (10−3 )5 · 109 = 104 · 10−15 · 109 = 104−15+9 = 10−2 = 1 100

(b) 1005/2 · 20−7 = (102 )5/2 · (2 · 10)−7 = 105 · 2−7 · 10−7 = 105−7 · 2−7 = 10−2 · 2−7 = = 1 29 · 52 1 102 · 27

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Universidad de Talca

N´meros reales - Potencias y ra´ u ıces

Ejercicios resueltos 8

4. Simplificar cada expresi´n y escribir su valor usando potencias con exponentes o positivos. 81 25 : (a) 20 24 3 · 0, 25 · 4 · (0, 5)−3 0, 5 ÷ (b) 5 · 2−6 · 8 4 Soluci´n: o (a) 81 20
−3 −3 2 −3 2

:

25 24

2

=

34 22 · 5

:

52 23 · 3

=

3−12 2−6 · 5−3·

26 · 32 54

= 3−12+2 · 26+6 · 53−4 = 3−10 · 212 · 5−1 212 = 10 3 ·5 3 · 0, 25 · 4 · (0, 5) 5 · 2−6 · 8
−3

(b)

1 1 3 · · 22 · 0, 5 4 2 ÷ = 4 5 · 2−6 · 23
2

−3

1 ÷ 22 2

1 3· · 22 · 23 2−1 2 = ÷ 2 5 · 2−6 · 23 2 3 · 2−2 · 22 · 23 22 = · −1 5 · 2−6 · 23 2 = 3 · 22 · 23 · 26 2 1 3 · 22+3+6+2+1−2−3 ·2 ·2 = 5 · 22 · 23 5

3 · 29 = 5

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Ejercicios resueltos 9

5. Simplificar cada expresi´n y escribir el resultado de manera que contenga s´lo o o exponentes positivos. 6 (a) (8a ) · −2 a −a2 · (−2a)4 (b) (−2a)3 · (−a)−1
6 −3 −1

.

Soluci´n: o (a) (8a )
6 −3

6 · −2 a

−1

= 8−3 a−18 · 2 · 3 · a2 = 2 3·a 28 a16 = 3
−8 −16 −1

−1

= 2−9+1 3 · a−18+2
−1−1

=

3 28 a16

(−1) · a2 · (−2)4 · a4 −a2+4 · 16 −16 a6 −a2 · (−2a)4 = = = (b) (−2a)3 · (−a)−1 (−2)3 · a3 · (−1)−1 · a−1 (−8) · a3−1 · (−1) 8 a2 = −2 a4

6. Simplificar la expresi´n: o Soluci´n: o

1 3x · 2y ÷ x −5 · y 2 y2 5x
−2 4

1 3x5 · 2y 4 x−1 3x5−2 · 2y 4−2 y 2 3x · 2y ÷ 2 = · −1 ÷ x = y2 5x2 · y 2 y 5 x 5x−5 · y 2
−2 4

=

6x3+1 y 2+2 6x4 y 4 3 · 2x3 y 2 2 ·y ·x= = 55 5

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Ejercicios resueltos 10

7. Simplificar la expresi´n, y expresar el resultado de manera que contenga s´lo exo o ponentes positivos. Suponer que todas las variables involucradas son positivas. (3a2 b)−3 (2a2 b)−1 a · · (2a−2 b)2 (6ab)−2 b Soluci´n: o (3a2 b)−3 (2a2 b)−1 a 3−3 a−6 b−3 2−1a−2 b−1 a · · = 2 −4 2 · −2 −2 −2 −2 · (2a−2 b)2 (6ab)−2 b 2a b 2 3 a b b = 2−1−2+2 3−3+2 a−6−2+4+2+1 b−3−1−2+2−1 = 2−1 3−1 a−1 b−5 = 1 6ab5

8. Notaci´n cient´ o ıfica. Es la notaci´n que se usa para representar n´meros reales o u positivos muy grandes ´ muy peque˜os en pocos s´ o n ımbolos, usando potencias de 10. 4 Por ejemplo: 30456, 2 = 3, 04562 · 10 ; 0, 000024 = 2, 4 · 10−5 As´ todon´mero real positivo puede escribirse en notaci´n cient´ ı, u o ıfica, en la forma: t · 10n , donde t es un n´mero real tal que 1 ≤ t < 10 y n es un n´mero entero u u Expresar cada resultado usando notaci´n cient´ o ıfica. (a) Calcular el valor de: (b) Calcular: Soluci´n: o 3, 15 · m , para m = 0, 00000000000000021, 0, 00000175 (3000)3 · (0, 00008)4 (0, 0012)3

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