Matematicas

UNIDAD 7

PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO

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Dirección de un plano Halla la ecuación del plano paralelo a 5x – y + 4 = 0 que pasa por (1, 0, –3). 5(x – 1) – 1(y – 0) + 0(z + 3) = 0; es decir: 5x – y – 5 = 0 Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta pasa por (1, 4, – 6). x–3 y+1 z–4 = = que 5 2 –6

5(x – 1) + 2(y – 4) – 6(z + 6) = 0; es decir: 5x + 2y – 6z – 49 = 0Halla la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s: x= 5+ λ  r:  y = –1  z = 8 + 2λ   x = 4 + 3λ  s:  y = 3 – λ  z = 5 + 4λ 

El plano pasa por (5, –1, 8) y es paralelo a (1, 0, 2) y a (3, –1, 4). Un vector normal al plano es: (1, 0, 2) × (3, –1, 4) = (2, 2, –1). La ecuación del plano es: 2(x – 5) + 2(y + 1) – 1(z – 8) = 0; es decir: 2x + 2y – z = 0 Dirección de una rectaHalla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a r que pasa por P (0, –1, –3): a) r : x–1 y+3 z = = 8 –2 5  3x – 5y + 7z – 4 = 0 b) r :   x – 2y + z + 1 = 0

 x = 8λ  a)  y = –1 – 2λ  z = –3 + 5λ  b) Un vector dirección de la recta es: (3, –5, 7) × (1, –2, 1) = (9, 4, –1)  x = 9λ  Las ecuaciones paramétricas son:  y = –1 + 4λ  z = –3 – λ 
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Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a π y a σ: π: x – 2y = 5 σ: 2x + z = 7

Un vector normal al plano es: (1, –2, 0) × (2, 0, 1) = (–2, –1, 4) La ecuación del plano será: –2x – y + 4z = 0 Distancias Siguiendo el proceso anterior, halla la distancia del punto P (8, 6, 12) a la recta r: x=2  r:  y = 1 – λ  z = 7 + 2λ Describe el proceso que seguirías para hallar la distancia de un punto P a un plano π, de modo que, finalmente, se reduzca al cálculo de la distancia entre dos puntos. • Ecuación del plano π que contiene a P y es perpendicular a r : 0 · (x – 8) – 1 · (y – 6) + 2 · (z – 12) = 0; es decir, π: –y + 2z – 18 = 0 • Punto, Q, de corte de r y π: –(1 – λ) + 2(7 + 2λ) – 18 = 0 –1 + λ + 14 + 4λ – 18 = 0 5λ –5 = 0 → λ = 1 El punto es Q (2, 0, 9). • Calculamos la distancia: → dist (P, r) = dist (P, Q) = |PQ| = |(–6, –6, –3)| = √36 + 36 + 9 = √81 = 9

Halla, paso a paso, la distancia del punto P (4, 35, 70) al plano π: 5y + 12z – 1 = 0
P

— Hallamos la ecuación de la recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π. — Obtenemos el punto, Q, de intersección de r y π. — La distancia de P a π es iguala la distancia entre P y Q.

π

Q

r

Para el punto y el plano dados: • Recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π: x= 4  r :  y = 35 + 5λ  z = 70 + 12λ 
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• Punto, Q, de intersección de r y π: 5(35 + 5λ) + 12(70 + 12λ) – 1 = 0 175 + 25λ + 840 + 144λ – 1 = 0 169λ + 1 014 = 0 → λ = –6 El punto es Q (4, 5, –2). • Calculamos ladistancia: → dist (P, π) = dist (P, Q) = |PQ| = |(0, –30, –72)| = √900 + 5 184 = √6 084 = 78

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1. Calcula el ángulo que forma la recta: x + 3y – z + 1 = 0. Llamamos 90° – α al ángulo formado por las direcciones de d y n sin tener en cuenta sus sentidos. d (7, –1, 3) // r cos (90° – α) =
→ → → → → →

x–3 y z–2 = = 7 –1 3

con el plano

n(1, 3, –1) ⊥ π
→

|d · →| n

d  ·  n

=

|7 – 3 – 3| 1 ≈ 0,039 — — = √ 59 · √ 11 √ 649

90° – α = 87° 45' 1'' → α = 2° 14' 59'' 2. Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y es perpendicular al plano π: A (3, 0, –1) π: 2x – 3y – z + 1 = 0

Un vector dirección de la recta es el vector normal al plano: (2, –3, –1).  x = 3 + 2λ  Las ecuaciones paramétricas de r son:  y = –3λ  z = –1 – λ 

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1.Halla razonadamente la distancia de P (5, 6, 6) a la recta r : (5λ, 2 – λ, λ). Hazlo por cada uno de los tres métodos aprendidos. Solución, obteniendo previamente el punto P' :
r

• Plano, π, que pasa por P y es perpendicular a r:
P

π

P'

5(x – 5) – 1(y – 6) + 1(z – 6) = 0 es decir: π: 5x – y + z – 25 = 0

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• Intersección, P',...