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Matemáticas II

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Geometría del espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio
Observación: La mayoría de los problemas resueltos a continuación se han propuesto en
los exámenes de Selectividad.

1− y 2 − z
corta a los tres planos coordenados en tres puntos.
=
3
2
Determina las coordenadas de estos puntos, las distancias existentes entre cada par de ellos e
indica cuál es el quese encuentra en medio de los otros dos.

1. La recta x =

Solución:

 x=t
1− y 2 − z
y −1 z − 2

La recta x =
⇔ x=
⇒ (en paramétricas)  y = 1 − 3t
=
=
3
2
−2
−3
 z = 2 − 2t

Puntos de corte con los planos coordenados.
• Con el plano x = 0 (⇒ t = 0):
A = (0, 1, 2)
• Con el plano y = 0 (⇒ t = 1/3):
B = (1/3, 0, 4/3)
• Con el plano z = 0 (⇒ t = 1):
C = (1, −2, 0)Distancias:
2

d(A, B) =

2

13
1
 2
2
  + (−1) +  −  =
3
 3
 3

d(A, C) = 12 + (−3) 2 + (−2) 2 = 13
2

2

2 14
2
 4
d(B, C) =   + (−2) 2 +  −  =
3
3
 3
Las distancias halladas son los módulos de los vectores
2
4
1
2
AB =  ,−1,−  ; AC = (1, −3, −2); BC =  ,−2,− 
3
3
3
3

Como los tres vectores tienen el mismo sentido y el máslargo es AC, la situación debe ser
así:

El punto intermedio es B.

José María Martínez Mediano

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Geometría del espacio

2. Considera los puntos del espacio A(0, 0, 1), B(1, 1,2) y C(0, −1, −1).
a) Encuentra la ecuación del plano ABC.
b) Si D es el punto de coordenadas (k, 0, 0), ¿cuánto ha de valer k para que los cuatro puntos
A, B, C y D sean coplanarios?Solución:
a) Como AB = (1, 1, 1) y AC = (0, −1, −2), la ecuación general viene dada por:
x 1 0
y 1 − 1 = 0 ⇔ −x + 2y − z + 1 = 0 ⇔ x − 2y + z − 1 = 0
z −1 1 − 2

b) El punto D(k, 0, 0) será del plano cuando cumpla su ecuación; esto es:
k−0+0−1=0 ⇒ k=1
Por tanto, D = (1, 0, 0).
3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, 0) y es paralela al eje z (una
ecuación: la quequieras). Haz un esquema dibujando los ejes, el punto y la recta.
Solución:

x = 0
La ecuación del eje z es 
(corte de los planos x = 0 e
y = 0
y = 0)
x = 1
La ecuación de la paralela pedida será 
(corte de los
y = 1
planos x = 1 e y = 1)
Gráficamente.
4. Halla las coordenadas del punto intersección de la recta

x −1 y −1 z −1
y del plano
=
=
1
0
−1

2x − y + z − 1 = 0 .Solución:
Las ecuaciones paramétricas de la recta dada son:
x = 1 + t

r ≡  y =1
z = 1 − t

Sustituyendo en la ecuación del plano se tiene:
2(1 + t) − 1 + (1 − t) −1 = 0 ⇒ t + 1 = 0 ⇒ t = −1

 x = 1 −1

El punto de corte será  y = 1
→ P(0, 1, 2)
 z = 1 − (−1)


José María Martínez Mediano

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Geometría del espacio

5. a) Calcula las ecuacionesimplícitas de la recta r1 que pasa por los puntos A = (1, 2, 3) y B
= (2, 2, 3).
b) Calcula la ecuación general del plano π que pasa por los puntos A, B y C = (2, 2, 4).
c) ¿Cuántos planos distintos pueden formarse con los puntos A, B, C y D = (1, 2, 4)? Justifica
tu respuesta.
d) Prueba que los puntos A, B, C y D anteriores forman un cuadrado y calcula su área.
Solución:
a) El vector dedirección de la recta es: AB = (2, 2, 3) − (1, 2, 3) = (1, 0, 0)
x = 1 + t
y = 2

Sus ecuaciones paramétricas son:  y = 2 ; o bien: 
z = 3
 z=3

b) El vector BC = (2, 2, 4) − (2, 2, 3) = (0, 0, 1)
El plano π está determinado por el punto A y por los vectores AB y BC; su ecuación es:
x −1 1 1
π: y − 2 0 0 = 1 ⇒ π: y = 2
z −3 0 1

c) El punto D también cumple la ecuación del planoπ; por tanto, los cuatro puntos sólo
definen un plano.
d) Los puntos A, B, C y D formarán un cuadrado cuando los vectores AB, BC, CD y DA sean
correlativamente perpendiculares y todos tengan el mismo módulo.
Como AB = (1, 0, 0), BC = (0, 0, 1), CD = (−1, 0, 0) y DA = (0, 0, −1) se comprueba que:
AB · BC = 0, BC · CD = 0, CD · DA = 0 y DA · AB = 0
También es obvio que todos tienen módulo 1....