Matemáticas Aplicadas A La Biomedicina

-------------------------------------------------
Equacions en dues variables
L’efecte d’un fàrmac ve donada per la següent expressió:
fx,y=x33+xy2-2xyOn x i y són dosis de diferents fàrmacs. Intentarem trobar punts crític per predir l’eficàcia del medicament.

δfδx=x2+y2-2y
δfδy=2xy-2x

Per trobar elspunts crítics, resolem el sistema format per les dues derivades parcials.
x2+y2-2y=0 2xy-2x=0
La segona equació també es pot posar com: 2xy-1=0. Per tant,tindrem dues possibilitats:
* Si x=0, substituint a la primera equació tindrem 0=y(y-2), i obtindrem com a punts crítics: (0,0) i (0,2).
* Si y=1,anàlogament tindrem que 0=x2-1, i els punts que obtindrem seran: (1,1) i (-1,1).
Com que estem tractant de dosis de medicaments, hem de tenir en compte eldomini, ja que valors negatius o nuls, no tindrien sentit. Així doncs, l’únic punt sobre el que podem treballar és (1,1).
Per veure com és aquest punt, haurem derecórrer a les derivades segones
δ2fδx2=2x δ2fδyδx=2y-2δ2fδxδy=2y-2δ2fδy2=2x
Avaluant la matriu en el punt crític i seguint el criteri,podrem saber si es tracta d’un màxim, d’un mínim o d’un punt sella.
M=2x2y-22y-22x1,1=2002
El criteri de classificació de punts crítics estableix tres casosdiferents:
detM | δ2fδx2 | |
+ | + | Mínim |
+ | - | Màxim |
- | +/- | Punt sella |
En el nostre cas tenim que: detM=4>0 i δ2fδx2=2>0. Comque tant el determinant de la matriu en el punt avaluat com la segona derivada parcial respecte x són positives, podem concloure que el punt (1,1) és un mínim.