Matemáticas - cálculo

Definición: Es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto –denominado dominio- un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función.

Funciones

f(x) = C
Dominio f(x) = R
Codominio f(x) = C

f(x) = h(x)
Dominio f(x) = [h(x)≥ 0, ∞]
Codominio f(x) = R+

Función Irracional

f(x) = g(x)h(x)Dominio f(x) = R – {h(x)=0}
Codominio f(x) = R

Función Racional
f(x) = ax2+bx+c
Dominio f(x) = R
Codominio f(x) = 4ac-b2 4a, ∝

Función Cuadrática

f(x) = x
Dominio f(x) = R
Codominio f(x) = R

Función Identidad

f(x) = ax+b
Dominio f(x) = R
Codominio f(x) = R

Función Lineal

Función Constante

y
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
x

Límites
Definición: el hecho que unafunción f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

De una constante
limx→3K=K
De una identidad
limx→Cx=C
De una identidad
limx→Cx=C
De una suma de funciones
limx→C[fx±gx]=limx→Cfx+ limx→Cg(x)
De una multiplicación
limx→C[fxgx]=limx→Cfxlimx→Cg(x)
De unadivisión
limx→Cf(x)g(x)=limx→Cfxlimx→Cg(x)
De una potencia
limx→Cfxn=limx→Cf(x)n
De una raíz
limx→Cnf(x)=nlimx→Cf(x)

Límites de una función trigonométrica

limx→0senxx=1
limx→01-costt+1 = 0

Límites Infinito

Límites al Infinito

limx→∞g(x)

limx→n±g(x)= ∞

La Derivada de una Función
Definición: la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) amedida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia.

Teoremas:

1. F(x) = C -> F’(x) = 0
2. F(x) = x -> F’(x) = 1
3. F(x) = K[h(x)] -> F’(x) = Kh’(x)
4. F(x) = xn -> F’(x) = hxn-1
5. F(x) = nxm -> F’(x) = mnxmn-1
6. F(x) = g(x) ± f(x) -> F’(x) = g’(x)±f’(x)
7.F(x) = g(x)h(x) -> F’(x) = g(x)h’(x)+h(x)g’(x)
8. F(x) = g(x)f(x) -> F’(x) = hxg'x-gxh'(x)[hx]2

Regla de la Cadena
Derivadas de funciones trigonométricas

F(x) = [g(x)]n -> F’(x) = n[g(x)]n-1g’(x)
Función Exponencial
F(x) = ex -> F’(x) = exx’
Logaritmo Natural de x
F(x) = lnx-> F’(x) = 1x x’

1. F(x) = sen x -> F’(x) = cosxx’
2. F(x) = cosx -> F’(x) = -senxx’
3. F(x) = tanx -> F’(x) = sec2xx’
4. F(x) = cotx -> F’(x) = -csc2xx’
5. F(x) = secx -> F’(x) = secxtanxx’
6. F(x) = cscx -> F’(x) = -cscxcotxx’

Aplicaciones de la Derivada

Creciente y decreciente
Máximos y mínimos

F’(x) = 0 // Losvalores obtenidos al igualar la derivada a cero se conocen como puntos críticos y se reemplazan posteriormente en la función original para obtener los máximos (número positivo) y los mínimos (número negativo)

F’(x) > 0 y F’(x) < 0 // Después de obtener ambos valores, se encuentra un valor entre cada uno ya sea positivo o negativo. Si se obtiene un valor positivo, la curva es creciente enese intervalo, y si se obtiene uno negativo, es decreciente en ese intervalo.


Posteriormente se busca en el plano cartesiano los puntos de los máximos, los mínimos y el punto de inflexión. El punto de inflexión indica donde la curva hace un cambio para volverse decreciente o creciente, o cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Gráfica
Concavidad
F’’(x) = 0 // Se iguala la segunda derivadaa cero y el valor que se obtiene se reemplaza en la función original. El valor obtenido es conocido como el Punto de Inflexión.

Punto de Inflexión
F’’(x) > 0 y F’’(x) < 0 // Se busca un valor tanto negativo como positivo entre los intervalos de los valores obtenidos. Si se obtiene un valor positivo, la curva es cóncava hacia abajo, y si se obtiene uno negativo, es cóncava hacia...