Matemáticas

Elementos de Topolog´ de Conjuntos ıa
Fidel Casarrubias Segura ´ Angel Tamariz Mascar´a u 31 de enero de 2011

Contenido
Introducci´n o 1 Espacios topol´gicos o 1.1 Espacios m´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Espacios topol´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 Comparaci´n de topolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . o ıas 1.4 Conjuntos cerrados . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1.5 Bases, subbases y bases locales . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Generaci´n de topolog´ a partir de subcolecciones del o ıas conjunto potencia de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 La cerradura, el interior y otros operadores 2.1 Elderivado y la cerradura de un conjunto . . . . . . . 2.2 El interior de un conjunto E . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Construcci´n de topolog´ a partir de operadores . . . o ıas 2.4 Subconjuntos densos, perfectos, densos en ninguna parte y fronterizos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7 12 15 17 20 27 29 35 49 50 56 64 6974

3 Funciones continuas y propiedades ligadas a la numerabilidad 87 3.1 Continuidad y Homemorfismos . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 Espacios separables, primero numerables y segundo numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3 Subespacios e im´genes continuas de espacios segundo a numerables, separables y primero numerables . . . . . . 106 3.4 Convergencia desucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5 Filtros y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 iii

iv 4 Construcci´n de espacios topol´gicos a partir de espao o cios dados 137 4.1 Topolog´ d´biles inducidas por funciones . . . . . . . 137 ıas e 4.2 Producto de dos espacios topol´gicos . . . . . . . . . . 142 o 4.3Producto de una familia arbitraria de espacios topol´gicos145 o 4.4 Topolog´ fuertes definidas por funciones . . . . . . . . 151 ıas 4.5 Los cocientes de un espacio topol´gico . . . . . . . . . 154 o Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5 Axiomas de separaci´n o 175 5.1 Espacios T0 , T1 y T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.2 Espacios regulares . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 189 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6 Espacios normales y completamente 6.1 Espacios normales . . . . . . . . . . 6.2 Espacios completamente regulares . 6.3 El Lema de Uryshon y los Teoremas chonoff . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Tietze y de Ty. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 207 208 214 219 229 239 240 247 251 255 262 269 273 291 291 303 308 314

7 Espacios compactos 7.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Producto de espacios compactos . . . . . . . . . . . . . 7.3 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . 7.4 Espacios numerablemente compactos y espacios Lindel¨f o 7.5 Compactaciones . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ˇ 7.6 La compactaci´n de Stone-Cech . . . . . . . . . . . . . o Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Espacios conexos y disconexos 8.1 Espacios conexos . . . . . . . . 8.2 Espacios localmente conexos . . 8.3 Espacios conexos por trayectoria 8.4 Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

Elementos de Topolog´ General ıa 8.5

v

Espacios hereditariamente disconexos, totalmente disconexos y 0-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cardinales . . . . . . . . . . . . 345 345 349 350 355 359 367 372...