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DIFERENCIALES

1.- Sea y = 3x2-5

a) Calcular el incremento de y correspondiente a un incremento de x:

∆y= [ 3 (x+x∆)2 –5] - (3x2-5)
∆y= [ 3 (x2+2x∆x+x∆2) - 5] – 3x2 + 5
∆y= 3x2 + 6x∆x+3∆x2 – 5 – 3x2 + 5
∆y= 6x∆x + 3∆x2

2.- Sea y = x3 un incremento de x. Calcular :

a) La derivada de y

= x3dx

= 3x2∆x

b)Incremento de ∆y- dy

∆y- dy = (3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) – (3x2∆x)
∆y- dy = 3x∆x2 + ∆x3


c) El valor incremento ∆y – dy

x = 1 y ∆x = 0.02

∆y- dy = 3x∆x2 + ∆x3
∆y- dy = 3(1) (0.02)2 + (0.02)3
∆y- dy = 0.00120

3. - F(x) = 4x5 –6x4 + 3x2 – 5

dy (4x5 – 6x4 + 3x2 -5) dx
dx

dy = (20x4 – 24x3 + 6x) ( ∆x)

dy = [ 20 (1)4 – 24 (1)3 + 6 (1) ] (0.03)

dy = 0.06

4.- F(x) = - 3x3 + 8x – 7

d (- 3x3 + 8x – 7) dx 2z
dx

dy = ( - 9x2 + 8 ) ( ∆x)

dy = [ - 9(4)2 + 8 ] (- 0.04)

dy = 5.44

5.- Sean f(z) = z3 + 2z - 7 y w = f(z). Encuentre dw , use dw para estimar el ∆w cuando z varia de 4 a 3.95

d ( z3 + 2z –7) (dx)
dz

dw = ( 3z2 – 6z + 2) ( ∆x)

dw = [ 3 (4)2 – 6(4) + 2] ( - 0.05)

dw = 1.3

6.- El radio de un globo esférico mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0.15cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera.

Formula del volumen del círculo: 4 r2

V = 4 r2[ (4/3) (30.15)3] – [ (4/3) (30)3]

dy = 4 r2 = 1704.9

dy = 4 (30)2 ( 0.15)

v = 1696.46




7.- Emplee diferenciales para estimar el incremento en volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10.1cm. ¿Cuál es el incremento exactodel volumen?

V= L3

∆V = [ (L + ∆x)3 ] – (L3)

∆V = ( L3 + 3L2∆x + 3L∆x2 + ∆x3) – L3

∆V = 3L2∆x + 3L∆x2 + ∆x3 + ∆x3

∆V = 3 (10)2 (0.1) + (10) (0.1)2 + (0.1)3

∆V = 30.301

8.- Los lados de un paralelepípedo rectangular miden 2,6,8m con u error posible de 2.01, 5.95, 8.02. Usediferenciales para estimar el error máximo en el valor calculado del volumen de este cuerpo.

x = 2 ∆x = 0.01
y = 6 ∆y = - 05
z = 8 ∆z = 0.02

dv = d (xyz) ∆x + d ( xyz) ∆y + d (xyz) ∆z
dx dy dz

dv = yz ∆x + xz∆y + xy ∆z

dv = (6) (8) (0.01) + (2) (8) (- 0.05) + (2) (6) (0.02)dv = 0.48 + ( - 0.8) + 0.24

dv = - 0.08

9.- Determine dw, cuando w = x3 – x2y + 3y2

d (x3 – x2y + 3y2) dx + d (x3 – x2y + 3y2) dy
dx dy


(3x2 – 2xy) dx + ( - x2 + 6y) dy

dw = (3x2 – 2xy) dx +(6y – x2) dy

10.-Determine dw, cuando w = 5w2 + 4y – 3xy3

d (5w2 + 4y – 3xy3) dx+ d (5w2 + 4y – 3xy3) dy
dx dy

dw = (10x – 3y3) dy + ( 4 – 9xy2) dy

11.- Determine dw, cuando w = xyz


d (xyz) dx = ( x + y + z ) d (xyz) – (xyz) d ( x + y + z )
dx dx dx(x + y + z)

dx = ( x+ y + z ) (xyz ) – ( xyz ) ( 1 ) dx
( x + y +z )

d (xyz) dy = ( x + y + z ) d (xyz) – (xyz) d ( x + y + z )
dy dy dy
(x + y + z)

dy = ( x+ y + z ) (xyz ) – ( xyz ) ( 1 ) dy
( x + y +z )

12- Los catetos de...
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