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1. Números naturales
1. Nociones básicas
Los números naturales son, tal como los conocemos, 1, 2, 3, 4, 5, . . . Si bien todos tenemos esta idea intuitiva, más adelante, en la sección 4, daremos una definición precisa. Llamamos N al conjunto de los números naturales, es decir:
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

Estos números se usan a diario para contar. Matemáticamente, contar significa decircuántos elementos tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {, , , } tiene 4 elementos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto vacío? Como el conjunto vacío no posee ningún elemento, necesitamos un símbolo nuevo que represente la cantidad de elementos de este conjunto. Este símbolo es el 0. Llamamos N0 al conjunto de los números naturales con el cero, o sea:
N0 = N 0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.El conjunto de los números naturales tiene dos operaciones importantes: suma y producto. Como mencionamos en el capítulo anterior, la suma y el producto de números naturales son operaciones asociativas y conmutativas. El 1 es el neutro para el producto, y la suma no tiene elemento neutro en N, pero sí en N0: el 0. Además, estas dos operaciones están relacionadas por la siguiente propiedad:para toda terna de números naturales a, b, c, vale que:
a · (b + c) = (a + b) · c = a·b+a·c a·c+b·c

Esta propiedad se llama distributiva del producto sobre la suma. Veamos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el cuadrado de la suma de dos números naturales:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) =a·a+b·a+a·b+b·b = (a + b) · a + (a + b) · b

= a2 + a · b + a · b + b2 = a2 + 2 · a · b + b220

Los Números

Esto también puede verse geométricamente como muestra el dibujo de la figura 1. EjErcicio 1.1. Encontrar una fórmula para (a + b)3.

a

b

aa

ab

a

2. Inducción

ab

bb

b

Lorena y sus amigas se saludan en la puerta de la escuela con un beso. Un día, Lorena llega primera y quiere Figura 1. El cuadrado de una suma. contar cuántos besos se dan en totaltodas las amigas (ella incluida). Cuando llega su primera amiga, Lorena la saluda y cuenta un beso. Cuando llega la segunda amiga, saluda a ambas, y Lorena cuenta dos besos más; en total, 3 besos. Cuando llega la tercera amiga, saluda a las tres y Lorena cuenta 3 besos más. En total, 6 besos. A medida que van llegando, Lorena descubre que si llegaron n amigas, la cantidad de besos es 1 + 2 + 3 +... + n. Esto nos lleva al siguiente problema: ¿cuánto da la suma de los primeros n números naturales? A partir de la figura 2 podemos ver que:
n(n + 1) . 1 + 2 + ··· + n = 2

Más adelante, daremos una demostración distinta de esta igualdad, que nos servirá para ilustrar el principio de inducción. Consideremos ahora el siguiente problema: ¿cuánto es 1 + 2 + 22 + ... + 2n? Calculemos losprimeros valores:
1 1+2 1+2+4 1+2+4+8 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 1 = 3 = 7 = 15 = 31 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

1 2 3 4 5

1+2+3+4+5=

5.6 2

Figura 2. La suma de los primeros números naturales.

Aunque a simple vista estos números no parecen conocidos, ¿qué pasa si a los resultados obtenidos les sumamos 1? Obtenemos que las primeras sumas, más 1, dan 2, 4, 8, 16, 32, que son potencias de 2. Parece serque la suma 1+2+...+2n= 2n+1-1. ¿Cómo podemos convencernos de que esta fórmula vale? Veamos qué pasa para n = 5:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 +32 = 2 · 25
25 1

1 1

= 26

Podemos repetir este razonamiento para n = 6, n = 7, . . . . O sea, si sabemos que vale:

Números naturales

21

1 + 2 + · · · + 2n = 2n+1 − 1,

entonces:
1 + 2 + · · · + 2n +2n+1 = 2 · 2n+1
2n+1 1

1 1

= 2n+2

(1)Vemos así que si la fórmula es válida para un número natural n, también lo es para el siguiente número natural n + 1. ¿Alcanza esto para concluir que la fórmula vale para todos los números naturales? La respuesta es sí. En la próxima sección vamos a formalizar este tipo de argumentos para poder aplicarlos en la demostración de propiedades sobre los números naturales.

3. Principio de...
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