Mates

5.- En la figura següent es representen dues funcions. L’una és la derivada de l’altra.
Decidiu si la funció f(x) és la derivada de la funció g(x) o és a l’inrevés, estudiant què
passa en els punts x = a, x = b i x = c.

Solució:
En x = a, la funció g(x) té un màxim relatiu (per tant g′(a) = 0) i la funció f(x) val zero (f(a) = 0).
En x = b la funció g(x) té un punt d’inflexió; per tant, laseva segona derivada en aquest punt val zero
(g′′(b) = 0). La funció f(x) té un mínim relatiu en aquest mateix punt (f′(b) = 0).
Finalment, en x = c la funció g(x) té un mínim relatiu (un altre cop g′(c) = 0) i f(c) = 0.
Tot això ens permet assegurar que la funció f(x) és la derivada de la funció g(x).
3.- Determineu el valor dels paràmetres a, b i c perquè la gràfica de la funció f(x) =
ax2 + bx + c
sigui la següent:

És evident que la funció té dues asímptotes verticals, x = −3 i x = 1. Això vol dir que el denominador
de la funció s’ha d’anul・lar per aquests valors. Arribem, doncs, al sistema
9 − 3b + c = 0
1 + b + c = 0

que té per solució b = 2, c = −3.
També es pot resoldre aquest troç de la qüestió adonant-se’n que el denominador ha de ser
(x + 3)(x − 1) = x2 + 2x− 3 .
Ara solament cal fer passar la funció pel punt (−1,−2).
f(−1) = −2 ⇐⇒
a
(−1)2 + 2(−1) − 3
= −2 ⇐⇒ a = 8 .
Així el valor dels paràmetres és a = 8, b = 2, c = −3.
Observem que no hem utilitzat en cap moment que el punt (−1,−2) és un màxim relatiu de la funció.
Si es vol, es pot comprovar que efectivament és així.
f′(x) = −
16(1 + x)
(x2 + 2x − 3)2 =⇒ f′(−1) = 0 .
A més a més, f′(x) >0 si −3 < x < −1 i f′(x) < 0 si −1 < x < 1.

3.- Donada la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + c:
(a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f(x) tingui
un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = −1 .
(b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d’inflexió de la funció f(x)
en el punt d’abscissa x = 0 .
(c) Determineu la relació entre elsparàmetres a, b i c sabent que la gràfica de f(x) talla
l’eix OX en el punt d’abscissa x = −2.
(d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleixin les tres propietats
anteriors alhora.
[0,5 punts per cada apartat]
Solució
(a) Perquè hi pugui haver un extrem relatiu de la funció en x = −1, cal que f′(−1) = 0 . Com que
f′(x) = 3x2 + 2ax + b, la relació buscada és 3 − 2a + b = 0 .
(b)En un punt d’inflexió la segona derivada ha de ser zero. Tenim que f′′(x) = 6x + 2a ; per tant,
f′′(0) = 2a = 0 . Llavors, a = 0 .
(c) És clar que la condició és f(−2) = −8 + 4a − 2b + c = 0 .
(d) Cal resoldre el sistema 3 − 2a + b = 0 , a = 0 , −8 + 4a − 2b + c = 0 . La solució és a = 0 , b = −3 i
c = 2 .
6.- Sigui f(x) = x2e−ax , quan a 6= 0 .
(a) Calculeu el valor de a perquè aquestafunció tingui un extrem relatiu en el punt
d’abscissa x = 2 .
(b) Quan a = 2, classifiqueu-ne els extrems relatius.
[1 punt per cada apartat]
Solució
(a) La condició necessària perquè una funció tingui un extrem relatiu en un punt és que la primera
derivada en ell valgui zero. Busquem la primera derivada de la funció f(x).
Df(x) = 2xe−ax + x2(−ae−ax) = e−ax(2x − ax2) .
Llavors, Df(x) = 0 si isol si x = 0 o x = 2/a ja que la funció exponencial és sempre diferent de zero.
Si volem que la funció tingui un extrem relatiu en x = 2, cal que a = 1 .
Nota: De fet és necessari encara comprovar que D2f(2) 6= 0. Com que D2f(x) = e−ax(2−4ax+a2x2),
és clar que per a = 1 el valor de D2f(2) no és zero.
(b) Podem aprofitar la feina feta a l’apartat anterior: quan a = 2, tenim que la funció pottenir extrems
en x = 0 i en x = 2/2 = 1 .
D’altra banda, quan a = 2, D2f(x) = e−2x(2 − 8x + 4x2) . Com que D2f(0) = 2 > 0, en el punt
d’abscissa x = 0 hi ha un mínim; així mateix la desigualtat D2f(1) = −2e−2 < 0 ens diu que en el
punt d’abscissa x = 1 hi ha un màxim.
Igual que a la qüestió 3, la classificació dels extrems es pot realitzar estudiant el signe de la derivada
abans i...