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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA ______________________________________________________________________

SERIE “ C ”

TRABAJOS DE MATEMATICA

Nº 32/04

Álgebra I – Matemática Discreta I
N. Patricia Kisbye – Roberto Miatello

Editores: Jorge R. Lauret–Elvio A. Pilotta

________________________________________________________
CIUDADUNIVERSITARIA – 5000 CÓRDOBA REPÚBLICA ARGENTINA

´ Indice general
´ Parte 1. Notas de Algebra I - Matem´ tica Discreta I a Introducci´ n o Cap´tulo 1. ı Los n´ meros naturales u 5 7 9 9 11 17 23 33 33 52 55 55 57 59 60 64 71 71 74 79 87 87 100 103
3

1. Introducci´ n o 2. Los n´ meros reales u 3. Principio de Inducci´ n o 4. Definiciones recursivas Cap´tulo 2. ı Conteo

1. T´ cnicas de conteo e2. F´ rmula del binomio o Cap´tulo 3. ı Divisibilidad

1. Los n´ meros enteros u 2. Algoritmo de la divisi´ n o 3. Desarrollos en base b, (b ≥ 2) 4. M´ ximo com´ n divisor a u 5. N´ meros primos u Cap´tulo 4. ı Congruencias

1. La relaci´ n de congruencia o 2. Ecuaciones en congruencias 3. Sistemas de ecuaciones en congruencias Cap´tulo 5. ı Grafos

1. Introducci´ n o 2. Algoritmo greedy ´Parte 2. GUIA DE EJERCICIOS

Parte 1

´ Notas de Algebra I - Matem´ tica Discreta I a

Introducci´ n o
´ Estas notas tienen la intenci´ n de ofrecer al estudiante un curso introductorio de Algebra. o Las mismas han sido utilizadas repetidas veces como material de apoyo para el dictado de las ´ materias Algebra I y Matem´ tica Discreta I de la Facultad de Matem´ tica, Astronom´a y F´sicaa a ı ı de la UNC. Comprenden los siguientes temas: axiomas de los n´ meros reales, los n´ meros u u naturales y el principio de inducci´ n, t´ cnicas de conteo, los n´ meros enteros, divisibilidad, o e u n´ meros primos, congruencias y grafos. u La gu´a de ejercicios que se encuentra en la Parte 2 ha sido elaborada en base a la recopilaı ci´ n y selecci´ n de ejercicios propuestos en diversasoportunidades. o o ´ Esperamos que estas notas sean utiles y accesibles al estudiante para entender las primeras ´ herramientas del Algebra, y al mismo tiempo agradecemos sugerencias y comentarios a fin de mejorarlas. Los autores.

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´ CAPITULO 1

´ Los numeros naturales
1. Introducci´ n o En esta secci´ n y la siguiente daremos una breve introducci´ n a los n´ meros reales, desde o o u unpunto de vista intuitivo y luego formalmente a partir de los axiomas de n´ meros reales. u Acordamos denotar con N, Z y Q al conjunto de los n´ meros naturales, enteros y racionales u respectivamente, y con R al conjunto de los n´ meros reales. En las secciones §3 y §4 daremos u la definici´ n y propiedades de conjunto inductivo e introduciremos el conjunto N de los n´ meros o u naturales. Al igualque los n´ meros naturales y enteros, los n´ meros racionales se representan en la u u recta de la manera usual. Por ejemplo:

-1 -1/2

0

2/3 1

3/2

2

5/2 . . . . . .

Si bien existen infinitos n´ meros racionales, los puntos correspondientes a los n´ meros rau u √ cionales no llenan la recta. Como es bien sabido, un segmento de longitud 2 no se corresponde con ning´ n n´ meroracional, ya que los n´ meros racionales no bastan para medir la diagonal u u u de un cuadrado cuyo lado es de longitud igual a 1. La introducci´ n de los n´ meros irracionales o u remedia este problema, de tal modo que los n´ meros racionales y los irracionales conforman u el sistema de los n´ meros reales, con lo cual se tiene una correspondencia biun´voca entre los u ı n´ meros reales y los puntosde la recta. u Si nos referimos a la representaci´ n de los n´ meros reales en el sistema decimal, los n´ meo u u ros racionales se pueden caracterizar por ser aquellos que admiten una expresi´ n decimal peo ri´ dica, por ejemplo: o 7 35 = = 3,5 2 10 4 = 1,333 . . . , 3 0, 234234234 . . . = 234 × (0,001001001 . . . ) = 234 ×
9

1 234 = 999 999

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´ 1. LOS NUMEROS NATURALES

Las...
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