PRÁCTICA

DERIVACIÓN PARCIAL. GRADIENTE

Prácticas Matlab
Práctica 9: Derivación parcial. Gradiente.

Objetivos



Determinar las derivadas parciales de una función de forma simbólica.
Representar el campo gradiente y mostrar su interpretación geométrica.

Comandos de Matlab
quiver
Dibuja los vectores U, V con flechas en los puntos X, Y. Las matrices X, Y, U, V
deben tener el mismo tamaño.

Ejemplo:
[X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);
U=Y+X;V=-X+Y;
quiver(X,Y,U,V)

gradientCalcula el gradiente de forma numérica de una matriz

Ejemplo:
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
[px,py] = gradient(z,.2,.2);

clabel
Permite etiquetar las curvas de nivel con el valor de la función en los puntos de
cada curva. La opción clabel(‘manual’) permite poner etiquetas únicamente a las
curvas que se deseen.

Ejemplo:
[X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);
Z=X+Y;
[c,h]=contour(X,Y,Z);
Clavel(c,h)

PÁGINA 2

MATLAB: DERIVACIÓN PARCIAL. GRADIENTEEjercicios resueltos

Cálculo de la derivada parcial en forma simbólica
Dada la función f ( x, y ) = sen ( xy ) + cos ( xy 2 ) calcular
∂f ∂f ∂f
∂f
,,
,
∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x

Recuerda que las derivadas parciales de segundo orden se definen:
∂  ∂x  ∂ 2 z
'
= z ''xx ( x, y ) = f xx ( x, y )
 =
∂x  ∂x  ∂x 2
∂  ∂x  ∂ 2 z
= z ''xy ( x, y ) = f xy ( x, y )
 =
∂y  ∂x  ∂x∂y

1

∂  ∂z  ∂ 2 z
''
  = 2 = z yy ( x, y ) = f yy ( x, y )
∂y  ∂y  ∂y
∂  ∂x  ∂ 2 z
=z ''yx ( x, y ) = f yx ( x, y )
 =
∂x  ∂y  ∂y∂x

(b) Comprueba que se verifica el teorema de Schwarz
TEOREMA DE SCHWARZ.- Sea z = f ( x, y ) es una función
de dos variables. Si se verifica que existen f , f x , f y , f xy , f yx
y además

f xy es continua en una región abierta D

entonces se cumple que en dicha región se da la igualdad
de las derivadas cruzadas de segundo orden, f xy = f yx .

Solución
(a) Código Matlab
syms x y
f=sin(x*y)+cos(x*y^2); [continua]

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