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Trabajo Práctico de Laboratorio
“Aplicación de métodos numéricos a la resolución de modelos físicos”

CÁTEDRA: MATEMÁTICA D1 – MATEMÁTICA APLICADA

FACULTAD DE INGENIERÍA - UNLP

Carrera: Ingeniería Aeronáutica

24 de Noviembre del 2011
ACTIVIDAD N° 1
El ensayo de tracción de un material consiste en someter una probeta normalizada a un esfuerzo axil de tracción creciente hasta que seproduce la rotura de dicha probeta. Los datos de las mediciones de la tensión (elástica) de un material (variable Y, en MPa) en función del alargamiento o deformación (variable X, en m/m).

a. Encuentre los polinomios de interpolación de Lagrange y spline cúbico para dichos puntos. ¿Qué problemas presentan?
b. Plantee un ajuste adecuado para los datos. Recuerde que si no hay deformación nohay tensión (y viceversa). Grafique y compare los resultados. ¿De qué material se trata?

Para la construcción de los polinomios de Lagrange seguimos la fórmula:

El polinomio resultante de ésta interpolación es siempre de un grado menos que el número de puntos.

En Matlab tenemos:
>> X

X =
1.0e-004 *
Columns 1 through 12
0 0.0700 0.1400 0.2100 0.28000.3500 0.4200 0.4900 0.5600 0.6300 0.7000 0.7700
Columns 13 through 15
0.8400 0.9100 0.9800

>> Y
Y =
Columns 1 through 12
0.0498 1.5647 2.6232 4.8438 5.3700 6.8722 9.2552 11.3019 11.5282 12.9270 14.9448 16.8134
Columns 13 through 15
18.2208 19.2721 20.1994
>> plot(X,Y,'+') % grafica los puntos X e Y en el plano
>>hold on % mantiene los gráficos anteriores
>> P=polyfit(X,Y,length(X)-1); %calcula los coeficientes de un polinomio de grado n-1 donde n es el número de puntos
> In polyfit at 80
>> X1=[0:0.000001:0.000098]; %define el vector X entre 0 y 0.000098 con intervalos de 0.000001
>> Pol=polyval(P,X1); % evalúa el polinomio con los coeficientes hallados
>> plot(X1,Pol,'r')%grafica el polinomio en línea roja
[pic]

En el caso de los polinomios por el método de spline, lo que se logra además de un polinomio de interpolación es un polinomio suave; es decir, que sea siempre derivable.

En Matlab:

P3=interp1(X,Y,X1,'spline'); %interpola con spline para los puntos X1
plot(X,Y,X1,P3,'o') %grafica el polinomio spline
[pic]
Para laconstrucción de una curva de ajuste, puesto que se conoce que la recta debe pasar por el origen por la condición que si no hay tensión no existe deformación. De éste modo nuestro problema se reduce a calcular la pendiente de una recta, para ello partimos del concepto de Error Cuadrático Medio y siendo así la recta de mejor ajuste será aquella que minimice dicho error.

Por lo tanto:
[pic]

Paraminimizar esta expresión, derivamos e igualamos a 0:
[pic]
[pic]

Finalmente tenemos la expresión de la pendiente:
[pic]
En Matlab:
a=sum(X.*Y)/sum(X.*X) %define la pendiente de la recta que pasa por el origen
a = 2.1207e+005
plot(X1,a*X1,'y') %grafica la recta en amarillo
[pic]
La pendiente en éste caso indica el módulo elástico del material, que de acuerdo a las tablas de los materialescorresponde a un acero con alto contenido de carbono.

ACTIVIDAD N° 2
Una barra empotrada-libre, contiene una masa concentrada en el extremo libre. Se aplica una carga P en la dirección “y”, de forma instantánea y se retira la carga en un tiempo t1. Las condiciones en desplazamiento y velocidad son nulas en el momento de aplicar la carga.

1) Plantear el modelo teórico y la ecuación deequilibrio dinámico del sistema.
2) Resolver la ecuación por el método de Euler Simple. Obtener la respuesta para el movimiento
forzado, en el intervalo [0; t1] y para el movimiento libre, en el intervalo [t1; 5t1].
3) Ídem 2) con el método de Euler mejorado.
4) Ídem 2) con el método de Runge-Kutta de orden 4.

Los métodos de cálculo serán implementados en Matlab.
Se presentarán gráficos...
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