Matmaticas 022

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2011
Semana 1: Lunes 07 – viernes 11 de Marzo

COMPLEMENTO
Contenidos

• Clase 1: Matrices. Álgebra Básica de Matrices • Clase 2: Tipos (básicos) de matriz: Simétrica, antisimétrica. Transpuesta de una matriz. Caracterización.

CLASE 1
1.1 Matrices
columnas) es un arreglo rectangular de la forma  · · · a 1m  · · · a 2m   · ·· a 3m  .  .. .  . .  · · · a nm

Definición 1.1. Una matriz de orden n × m (se lee n filas por m  a 11 a 12 a 13   a 21 a 22 a 23   a 31 a 32 a 33  . . .  . . . . .  . a n1 a n 2 a n 3

Cada uno de los elementos del arreglo a i j es llamada entrada, elemento o coeficiente de la matriz.

Observación 1.1. Denotaremos las matrices por letras mayúsculas A, B,C o también en la forma ai j

n ×m

, bi j

n ×m

Observación 1.2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numérico en particular a o (n × m , ) al conjunto de todas las matrices de orden n × m con coeficientes reales, . Denotaremos por n×m ( ) ó (n × m , ) denota el conjunto de todas las matrices de orden n × m con coeficientes de manera similar n ×m ( ) ó complejos.

UniversidadTécnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

Ejemplo 1.1. Construir la matriz A = a i j 1 i 2 0 1−i −3

3×3

= i +j

3×3

Ejemplo 1.2.

∈

2×3 (

)

Definición 1.2. Una matriz de orden n × 1 se llama matriz columna o vector columna, estos tienen la forma   a 11    a 21   .   .   .  a n1 De manera similar una matriz de orden 1 × m es llamada matriz fila o vectorfila y tiene la forma a 11 a 12 a 13 ··· a 1m

Definición 1.3. A la matriz a i j por [0]n ×m

n ×m

tal que a i j = 0 para todo i , j es llamada matriz nula de orden n × m y es denotada  [0]n ×m   =   0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ··· ··· .. . ··· 0 0 . . . 0      

Observación 1.3. A las matrices de orden n × n (igual numero de filas y columnas) se les denomina matrices cuadradas de ordenn .

Definición 1.4. Sea A una matriz cuadrada A = a i j n ×n . Los coeficientes a i i para i = 1, 2, . . . , n forman la diagonal principal de la matriz. La diagonal secundaria de A son los elementos de la forma a i ,n +1−i para i = 1, 2, . . . , n   a 11   a 22     Diagonal principal : ..   .   a nn   a 1n     Diagonal secundaria :   a n −1,2   a n1

Definición 1.5. Unamatriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todos nulos es llamada matriz diagonal (los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero)   a 11 0 0 ··· 0   a 22 0 ··· 0   0  .   .  0 a 33 · · · .  Matriz diagonal:  0  .  . . ..  .  . . . . . 0   . 0 0 ··· 0 a nn

MAT022 (Complemento)

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Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella matriz cuadrada que tiene todos los elementos de la diagonal principal igual a 1, esta matriz es llamada Matriz identidad de orden n . Esta matriz es denotada por I n . Ejemplo 1.3. I2 = 1  I3 =  0 0  1 0 0 1 0 0 1  0  0  1

Definición 1.6. Si una matriz cuadrada de orden n es tal que todos sus elementos que estanencima de su diagonal principal son todos ceros (no importan los demás) se denomina matriz triangular inferior; De manera similar, una matriz triangular superior es aquella en la cual todos los elementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos ceros.  a 11 0 a 22 . . . . . . a n2 a 12 a 22 0 . . . 0 0 0 .. . .. . a n3 a 13 a 23 .. . .. . 0 ··· .. . .. . .. . ··· ··· .. . .. . .. .··· 0 0 . . . 0 a nn a 1n a 2n . . . . . . a nn                    

   a 21  . Matriz triangular inferior:  .  .  .  .  . a n1      Matriz triangular superior:      a 11 0 0 . . . 0

Definición 1.7. Dada una matriz cuadrada     A =    a 11 a 21 a 31 . . . a n1 a 12 a 22 a 32 . . . a n2 a 13 a 23 a 33 . . . a n3 ··· ··· ··· .. . ··· a 1n a 2n...