Matrices Algebra Lineal

1. Encuentre la matriz canónica pata la transformación lineal que primero gira puntos contra el sentido de giro de las manecillas del reloj hacia un ángulo de 45º y luego refleja puntos sobre el eje . (4 puntos)


2. Dada la transformación lineal que produce los siguientes resultados:



a. Determinar la matriz canónica de la transformación. (2puntos)
b. Hallar su núcleo (2 puntos)
c. Hallar su rango. (1 punto)
d. Indicar si T es suprayectiva y si T es inyectiva (1 punto)


3. Encuentre la matriz M de la transformación relativa a la base cuando:
; ; ; Nota:
(3 puntos)


4. Reconstruir una base ortogonal por el procedimiento de Gram-Schmidt, a partir de la base Bproporcionada

B = (3 puntos)
Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.

a. En toda transformación matricial, la imagen de una combinación lineal de vectores es la misma combinación lineal de las imágenes de dichos vectores.
b. Si una transformación lineal es inyectiva entonces n no puede ser mayor que m.
c. Si A es una matriz 5 x 4, latransformación lineal no puede ser suprayectiva.
d. Sea una transformación lineal. Si se cumple que es un conjunto linealmente independiente, siendo y vectores de , entonces es linealmente independiente.

Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas.
- Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

2. Dada la siguiente matriz A yel vector :

,

i. Encuentre la proyección ortogonal de sobre el espacio de columnas de A. (2puntos)
ii. Encuentre una solución por mínimos cuadrados de (2puntos)




1. Hallar la matriz canónica de una transformación matricial sabiendo que:

| |
(3 puntos)

2. Dada la transformación lineal que produce los siguientesresultados:

Núcleo de T= t-11/21

1. Determinar la matriz canónica de la transformación. (2 puntos)
2. Hallar el Rango de T e indicar si T es suprayectiva y si T es inyectiva. Justificar
(2 puntos)

3. Encuentre la mejor aproximación a z con vectores de la forma c1v1+c2v2.

z=-126 ; v1=3-12 ; v2=1-1-2
(3 puntos)

4. Sea T:R3→R3 una transformaciónlineal cuya matriz canónica A tiene los autovalores: λ1=1, λ2=2, λ3=-1 y los autovectores correspondientes a estos autovalores v1=1,1,1 , v2=0,1,2 , v3=1,2,1

a. Probar que {v1, v2, v3} es una base de R3
b. Hallar la matriz de la transformación referida a la base anterior.
c. Hallar la matriz de la transformación referida a la base canónica.

1. Dado el siguienteconjunto de polinomios: =:
a. Determinar si es una base del espacio .
b. Hallar el vector de coordenadas del polinomio = respecto de la base U.
(4 puntos)

2. Encuentre la matriz canónica pata la transformación lineal que primero gira puntos contra el sentido de giro de las manecillas del reloj hacia un ángulo de 45º y luego refleja puntossobre el eje . Graficar (4 puntos)

3. Hallar la matriz canónica de una transformación matricial sabiendo que:

| |
(3 puntos)

4. Dada la transformación lineal que produce los siguientes resultados:

Núcleo de T= t-11/21

3. Determinar la matriz canónica de la transformación. (2 puntos)
4. Indicar si T es suprayectiva y si T es inyectiva.Justificar (2 puntos)


5. Sea una transformación lineal tal que Tx,y,z= ( 3x , 3x-6y , 3x+2z )

a. Hallar el núcleo de T, dando una base y su dimensión.
b. Hallar el rango de T, dando una base y su dimensión.
c. Determine la matriz M de la transformación lineal con respecto a la base B=1,3,2, -1,0,1, 0,0,-1 , es decir la matriz M que cumple: ....