Matrices Cap Ix Octubre 2010 1

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.
VI COHORTE
 
 
 
 
MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION
CODIGO # 806-3120
SECCION A

PROF. HUGAR CAPELLA

Matrices. Parámetros básicos
Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo
rectangular A de números reales con m reglones (o filas) yn
columnas. (Reglones son horizontales y columnas son
verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La
entrada en la fila o reglón i y columna j se llama aij o Aij.

  Ejemplo
Aquí es una matriz 4×5..
 
A=

0
1/3
3

1
­1
1

2
10
0

0
1/3
1

3
2
­3

2

1

0

0

1

A13 = 2

2

EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCETRES MODELOS CON DISTINTAS
CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA
PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ A

TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z
TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z

(EN MILES)

TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z

A=

5

3

2

7

4

5

10

8

4

B=

5

3

2

7

4

5

10

8

4

LA MATRIZ B DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA
OTRA PLANTA DE LAEMPRESA ( PTO ORDAZ)
(AMBAS SON MATRICES CUADRADAS)

3

Operaciones con matrices
Trasposición
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las
filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT,
entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtienesumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma
parecida, sus resta, A ­ B, obtiene restando entradas correspondientes. En
símbolos, (A­B)ij = Aij ­ Bij.
Producto escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el
producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando
cada entrada de A por c. En símbolos,(cA)ij = c(Aij).
Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p,
entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij
se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar
sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
4

Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×nen la cual
todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que
son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
En Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación
entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
A+(B+C) = (A+B)+C

Regla asociativa de adición

A+B = B+A

Reglaconmutativa de adición

A+O = O+A = A

Regla unidad de adición

A+( ­ A) = O = ( ­ A)+A

Regla inversa de adición

c(A+B) = cA+cB

Regla distributiva

(c+d)A = cA+dA

Regla distributiva

1A = A

Unidad escalar

0A = O

Cero escalar

A(BC) = (AB)C

Regla asociativa de multiplicación

AI = IA = A

Regla unidad de multiplicación

A(B+C) = AB + AC

Regla distributiva
5

Álgebra de matrices
(A+B)C = AC +BC

Regla distributiva

OA = AO = O

Multiplicación por matriz cero

(A+B)T = AT + BT

Trasposición de una suma

(cA)T = c(AT)

Trasposición de un producto escalar

(AB)T = BTAT

Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la
de conmutatividad del producto entre matrices. El
producto entre matrices no es conmutativo: AB no es
igual a BA en general

6

MATRIZIDENTIDAD Y MATRIZ CERO
Matriz identidad

1 0 0 0

I=

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Matriz Cero
0 0 0 0

0=

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

7

Ejemplos
Trasposición
0

1

T

2

Suma y producto
­1
1/3escalar
0

1

1/3

­1

=

0
1

1/3
­1

2

10

10

+ 2

1

­1

2/3

­2

=

2

­1

5/3 ­5

Producto
0

1

1

­1

1/3

­1

2/3

­2

2/3

­2

­1/3

5/3

=

8

EJEMPLO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES

9

• PRODUCTO...