Matrices Ejercicios

Problemas y Ejercicios Resueltos.
Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicios


2
1.- Determinar el rango de la siguiente matriz:  3
2

2
4
3

Soluci´
on.




2 0 0 −1
2 2 0 −1
3 1 1 2 
3 4 1 2 
∼
AT12 (−1)
2 1 2 5
2 3 2 5


2 0 0 0
3 1 1 7 
∼
2
AT12 (−1)T14 ( 21 )
2 1 2 6

2 0 0
0 1 1
∼
T21 (− 32 )AT12 (−1)T14 ( 12 )
2 1 2


−1
2 .
5

0
1
2

0
7
2




6



2 0 0
01 1
∼
T31 (−1)T21 (− 32 )AT12 (−1)T14 ( 12 )
0 1 2

0
7
2




6




2 0 0 0
0 1 1 7 
∼
2
T32 (−1)T31 (−1)T21 (− 32 )AT12 (−1)T14 ( 12 )
0 0 1 −1

2 0 0
0 1 0
∼
T32 (−1)T31 (−1)T21 (− 32 )AT12 (−1)T14 ( 12 )T23 (−1)
0 0 1

2
0
∼
T32 (−1)T31 (−1)T21 (− 32 )AT12 (−1)T14 ( 12 )T23 (−1)T24 (− 72 )
0

0
7
2




−1


0 0
0 0 
1 −1

1 0 0
0 1 0
∼
Q1 ( 12 )T32 (−1)T31 (−1)T21 (− 23 )AT12(−1)T14 ( 12 )T23 (−1)T24 (− 72 )T34 (1)
0 0 1

´
Introducci´
on al Algebra
Lineal.

0
1
0

M.A. Garc´ıa S´
anchez y T. Ram´ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.


0
0
0

2

Sistemas de ecuaciones lineales

Luego el rango de la matriz A es 3.
(
2.- Hallar matrices de paso P y Q tales que A = P

Ir
0

0
0

)
Q, siendo r = rg(A) y A la matriz del ejercicio

anterior.
Soluci´
on. Del ejercicioanterior, podemos deducir que

1
1
3
1
7
Q1 ( )T32 (−1)T31 (−1)T21 (− )AT12 (−1)T14 ( )T23 (−1)T24 (− )T34 (1) =  0
2
2
2
2
0

0
1
0

0
0
1


0
0,
0

luego P ∈ Mat3×3 (R) es la matriz inversa de Q1 ( 12 )T32 (−1)T31 (−1)T21 (− 32 ) y Q ∈ Mat4×4 (R) es la matriz
inversa de T12 (−1)T14 ( 21 )T23 (−1)T24 (− 72 )T34 (1), siendo

Tij (λ) = (tkl ) ∈ M ats×s (K),

tkl


1
= 0

λ

k=l
k ̸= l y (k, l)̸= (i, j)
(k, l) = (i, j)

Qi (λ) = Tii (λ) ∈ M ats×s (K).



1
3.- Estudiar si las matrices A =  1
0

1
0
1

0
0
0



1
0
1 y B = 2
1
1

2
1
0

1
−1
−1


4
−1  son equivalentes.
−2

Soluci´
on. Es f´acil ver que rg(A) = 3 ̸= 2 = rg(B), luego A y B no son equivalentes.

4.- Se considera

1 2
A = 2 3
0 1

la aplicaci´
 on lineal f : V →W
2
3 4
7 9  ¿Es la matriz B =  1
0 0
0

cuyamatriz
 asociada respecto de las bases BV y BW es
0 0 0
2 0 0  matriz asociada a f ?
0 0 0

Soluci´
on. Para que dos matrices sean asociadas a la misma aplicaci´on lineal es condici´on necesaria
y suficiente que tengan el mismo orden y el mismo rango. Ahora, rg(A) = 3 ̸= 2 = rg(B), luego B no es
matriz asociada a f .

5.- Hallar, si es que existe, la inversa de la matriz A mediante transformacioneselementales, siendo A =


1 3 0
1
 0 0 −1 1 


−1 2 0 −1
2 1 0
1
Soluci´
on. Para calcular la matriz inversa de A, podemos realizar transformaciones elementales s´olo
por filas, hasta obtener la matriz identidad.

´
Introducci´
on al Algebra
Lineal.

M.A. Garc´ıa S´
anchez y T. Ram´ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

Sistemas de ecuaciones lineales



1
 0

−1
2

3
0
2
1

0
−1
00

3



1
1
1 
 −1
 ∼ 
−1 P2 3 A
0
1
2



0
1
0 −1 

−1 1
0
1

3 0 1
5 0 0

0 −1 1
1 0 1


1 3 0 1
0 1 0 0
∼


0 0 −1 1
Q2 ( 15 )T21 (1)P23 A
2 1 0 1


1 0 0 1
0 1 0 0
∼


1
0 0 −1 1
T12 (−3)Q2 ( 5 )T21 (1)P23 A
2 1 0 1

1 0 0
0 1 0
∼

0 0 −1
T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 51 )T21 (1)P23 A
0 1 0

1 0
0 1
∼

0 0
T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 15 )T21 (1)P23 A
0 0

3
2
0
1
1
0
∼
0
T21 (1)P23 A
2


1
0 

1
−1

0
1
0
0 

−1 1
0 −1

1 0 0
0
0 
0 1 0
∼


0 0 −1 1
T14 (1)T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 15 )T21 (1)P23 A
0 0 0 −1


1 0 0
0
0 
0 1 0
∼


1
0
0
−1
0
T34 (1)T14 (1)T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 5 )T21 (1)P23 A
0 0 0 −1


1 0 0 0
0 1 0 0 
∼


0 0 1 0
Q3 (−1)T34 (1)T14 (1)T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 15 )T21 (1)P23 A
0 0 0 −1

1 0 0
0 1 0
∼

0 01
Q4 (−1)Q3 (−1)T34 (1)T14 (1)T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 15 )T21 (1)P23 A
0 0 0


0
0

0
1

Por tanto, la matriz inversa de A es Q4 (−1)Q3 (−1)T34 (1)T14 (1)T42 (−1)T41 (−2)T12 (−3)Q2 ( 51 )T21 (1)P23 =
 −3

2
0
1
5
5
1
1
0
0 
 5
5

.
1 −1 −1 −1
1
0 −1 −1

´
Introducci´
on al Algebra
Lineal.

M.A. Garc´ıa S´
anchez y T. Ram´ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

4

Sistemas...