Matrices metodo de gauss

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL.

“INTEGRACIÓN DE SABERES.”

FACULTAD: CIENCIAS ADMINISTRATIVAS.

ESCUELA: INGENIERIA COMERCIAL

UNIDAD DE ANÁLISIS: MATEMÁTICAS.


-2012 – 2013

“INTEGRACIÓN DE SABERES.”

SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES POR EL MÉTODO DE GAUSS.

Desarrollo
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cualpueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2x + c2z = d2
a3x + b3x + c3x = d3

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

1 0 0
0 1 0
0 01

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Para su desarrollo se tomara en cuenta las siguientes
OPERACIONES BÁSICAS DEL REGLÓN O FILA.
1.- Ambos miembros de una ecuación puedenmultiplicarse por una constante diferente de cero. (Crear 1)
2.- Los múltiplos diferentes de cero en una ecuación pueden sumarse a la otra ecuación. (Crear 0)
3.- Las ecuaciones pueden intercambiarse.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran serla solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
* d1 = x
* d2 = y
* d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
* Sea el sistema deecuaciones:

2x + 3y + z = 1
3x – 2y – 4z = -3
5x – y – z = 4

* Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

2 3 1 1
3 -2 -4 -3
5 -1 -1 4

* Una vezhecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

1 0 0
0 1 0
0 0 1
* Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer estodebemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

2 3 1 1 Fila 1 * ½ = 1 3/2 ½ ½
3 -2 -4 -3 3 -2 -4 -3
5 -1 -1 4 5 -1 -1 4* Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos...